Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60518 / 82855
↖ ↑ ↗
← S 42.890052°
W 13.782349°		 ← 223.73 m → S 42.890052°
W 13.779602°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 42.892064°
W 13.782349°		 ← 223.72 m →
50 058 m²		 S 42.892064°
W 13.779602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461719512939453 y=0.632137298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461719512939453 × 217)
    floor (0.461719512939453 × 131072)
    floor (60518.5)     		tx = 60518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632137298583984 × 217)
    floor (0.632137298583984 × 131072)
    floor (82855.5)     		ty = 82855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60518 / 82855 ti = "17/60518/82855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60518/82855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60518 ÷ 217
    60518 ÷ 131072     		x = 0.461715698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82855 ÷ 217
    82855 ÷ 131072     		y = 0.632133483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461715698242188 × 2 - 1) × π
    -0.076568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24054736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632133483886719 × 2 - 1) × π
    -0.264266967773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.830219164519753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24054736} λ = -0.24054736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830219164519753))-π/2
    2×atan(0.435953730260742)-π/2
    2×0.411111852340668-π/2
    0.822223704681336-1.57079632675     		φ = -0.74857262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24054736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.782349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74857262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.890052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60518 KachelY 82855 -0.24054736 -0.74857262 -13.782349 -42.890052
    Oben rechts KachelX + 1 60519 KachelY 82855 -0.24049943 -0.74857262 -13.779602 -42.890052
    Unten links KachelX 60518 KachelY + 1 82856 -0.24054736 -0.74860774 -13.782349 -42.892064
    Unten rechts KachelX + 1 60519 KachelY + 1 82856 -0.24049943 -0.74860774 -13.779602 -42.892064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74857262--0.74860774) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74857262--0.74860774) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24054736--0.24049943) × cos(-0.74857262) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732661080700394 × 6371000     		do = 223.726874904673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24054736--0.24049943) × cos(-0.74860774) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732637177798944 × 6371000     		du = 223.719575866164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74857262)-sin(-0.74860774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732661080700394-0.732637177798944)×R²
    abs(-0.24049943--0.24054736)×2.39029014500458e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39029014500458e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39029014500458e-05×40589641000000     		ar = 50057.9642978794m²