Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60518 / 55986
↖ ↑ ↗
← N 25.358918°
W 13.782349°		 ← 275.94 m → N 25.358918°
W 13.779602°		 →
↑
275.99 m
↓
↑
275.99 m
↓
N 25.356436°
W 13.782349°		 ← 275.94 m →
76 157 m²		 N 25.356436°
W 13.779602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461719512939453 y=0.427143096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461719512939453 × 217)
    floor (0.461719512939453 × 131072)
    floor (60518.5)     		tx = 60518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427143096923828 × 217)
    floor (0.427143096923828 × 131072)
    floor (55986.5)     		ty = 55986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60518 / 55986 ti = "17/60518/55986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60518/55986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60518 ÷ 217
    60518 ÷ 131072     		x = 0.461715698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55986 ÷ 217
    55986 ÷ 131072     		y = 0.427139282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461715698242188 × 2 - 1) × π
    -0.076568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24054736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427139282226562 × 2 - 1) × π
    0.145721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.457797391371536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24054736} λ = -0.24054736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457797391371536))-π/2
    2×atan(1.58058872970275)-π/2
    2×1.0066964748296-π/2
    2.0133929496592-1.57079632675     		φ = 0.44259662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24054736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.782349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44259662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.358918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60518 KachelY 55986 -0.24054736 0.44259662 -13.782349 25.358918
    Oben rechts KachelX + 1 60519 KachelY 55986 -0.24049943 0.44259662 -13.779602 25.358918
    Unten links KachelX 60518 KachelY + 1 55987 -0.24054736 0.44255330 -13.782349 25.356436
    Unten rechts KachelX + 1 60519 KachelY + 1 55987 -0.24049943 0.44255330 -13.779602 25.356436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44259662-0.44255330) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dl = 275.991720000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44259662-0.44255330) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dr = 275.991720000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24054736--0.24049943) × cos(0.44259662) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903642611415924 × 6371000     		do = 275.938142216477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24054736--0.24049943) × cos(0.44255330) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903661163974842 × 6371000     		du = 275.94380746353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44259662)-sin(0.44255330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903642611415924-0.903661163974842)×R²
    abs(-0.24049943--0.24054736)×1.8552558917917e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8552558917917e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8552558917917e-05×40589641000000     		ar = 76157.4242764492m²