Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60518 / 39990
↖ ↑ ↗
← N 57.246366°
W 13.782349°		 ← 165.21 m → N 57.246366°
W 13.779602°		 →
↑
165.26 m
↓
↑
165.26 m
↓
N 57.244880°
W 13.782349°		 ← 165.22 m →
27 304 m²		 N 57.244880°
W 13.779602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461719512939453 y=0.305103302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461719512939453 × 217)
    floor (0.461719512939453 × 131072)
    floor (60518.5)     		tx = 60518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305103302001953 × 217)
    floor (0.305103302001953 × 131072)
    floor (39990.5)     		ty = 39990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60518 / 39990 ti = "17/60518/39990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60518/39990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60518 ÷ 217
    60518 ÷ 131072     		x = 0.461715698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39990 ÷ 217
    39990 ÷ 131072     		y = 0.305099487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461715698242188 × 2 - 1) × π
    -0.076568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24054736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305099487304688 × 2 - 1) × π
    0.389801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22459603769395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24054736} λ = -0.24054736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22459603769395))-π/2
    2×atan(3.4027912057278)-π/2
    2×1.28496694704348-π/2
    2.56993389408697-1.57079632675     		φ = 0.99913757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24054736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.782349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99913757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.246366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60518 KachelY 39990 -0.24054736 0.99913757 -13.782349 57.246366
    Oben rechts KachelX + 1 60519 KachelY 39990 -0.24049943 0.99913757 -13.779602 57.246366
    Unten links KachelX 60518 KachelY + 1 39991 -0.24054736 0.99911163 -13.782349 57.244880
    Unten rechts KachelX + 1 60519 KachelY + 1 39991 -0.24049943 0.99911163 -13.779602 57.244880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99913757-0.99911163) × R
    2.59400000000021e-05 × 6371000     		dl = 165.263740000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99913757-0.99911163) × R
    2.59400000000021e-05 × 6371000     		dr = 165.263740000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24054736--0.24049943) × cos(0.99913757) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541027814665106 × 6371000     		do = 165.209351772606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24054736--0.24049943) × cos(0.99911163) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541049630144972 × 6371000     		du = 165.216013391823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99913757)-sin(0.99911163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541027814665106-0.541049630144972)×R²
    abs(-0.24049943--0.24054736)×2.18154798654613e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18154798654613e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18154798654613e-05×40589641000000     		ar = 27303.6658206077m²