Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60517 / 82733
↖ ↑ ↗
← S 42.644061°
W 13.785095°		 ← 224.66 m → S 42.644061°
W 13.782349°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.646081°
W 13.785095°		 ← 224.66 m →
50 468 m²		 S 42.646081°
W 13.782349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461711883544922 y=0.631206512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461711883544922 × 217)
    floor (0.461711883544922 × 131072)
    floor (60517.5)     		tx = 60517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631206512451172 × 217)
    floor (0.631206512451172 × 131072)
    floor (82733.5)     		ty = 82733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60517 / 82733 ti = "17/60517/82733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60517/82733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60517 ÷ 217
    60517 ÷ 131072     		x = 0.461708068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82733 ÷ 217
    82733 ÷ 131072     		y = 0.631202697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461708068847656 × 2 - 1) × π
    -0.0765838623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24059530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631202697753906 × 2 - 1) × π
    -0.262405395507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.824370862766106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24059530} λ = -0.24059530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824370862766106))-π/2
    2×atan(0.438510789163793)-π/2
    2×0.413258526690988-π/2
    0.826517053381975-1.57079632675     		φ = -0.74427927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24059530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.785095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74427927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.644061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60517 KachelY 82733 -0.24059530 -0.74427927 -13.785095 -42.644061
    Oben rechts KachelX + 1 60518 KachelY 82733 -0.24054736 -0.74427927 -13.782349 -42.644061
    Unten links KachelX 60517 KachelY + 1 82734 -0.24059530 -0.74431453 -13.785095 -42.646081
    Unten rechts KachelX + 1 60518 KachelY + 1 82734 -0.24054736 -0.74431453 -13.782349 -42.646081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74427927--0.74431453) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74427927--0.74431453) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24059530--0.24054736) × cos(-0.74427927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.735576346040653 × 6371000     		do = 224.663949816075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24059530--0.24054736) × cos(-0.74431453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.735552458984314 × 6371000     		du = 224.656654094217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74427927)-sin(-0.74431453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735576346040653-0.735552458984314)×R²
    abs(-0.24054736--0.24059530)×2.38870563390448e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38870563390448e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38870563390448e-05×40589641000000     		ar = 50468.0182405878m²