Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60517 / 39979
↖ ↑ ↗
← N 57.262708°
W 13.785095°		 ← 165.17 m → N 57.262708°
W 13.782349°		 →
↑
165.14 m
↓
↑
165.14 m
↓
N 57.261223°
W 13.785095°		 ← 165.18 m →
27 276 m²		 N 57.261223°
W 13.782349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461711883544922 y=0.305019378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461711883544922 × 217)
    floor (0.461711883544922 × 131072)
    floor (60517.5)     		tx = 60517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305019378662109 × 217)
    floor (0.305019378662109 × 131072)
    floor (39979.5)     		ty = 39979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60517 / 39979 ti = "17/60517/39979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60517/39979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60517 ÷ 217
    60517 ÷ 131072     		x = 0.461708068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39979 ÷ 217
    39979 ÷ 131072     		y = 0.305015563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461708068847656 × 2 - 1) × π
    -0.0765838623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24059530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305015563964844 × 2 - 1) × π
    0.389968872070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.22512334358978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24059530} λ = -0.24059530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22512334358978))-π/2
    2×atan(3.40458599075161)-π/2
    2×1.28510955899622-π/2
    2.57021911799245-1.57079632675     		φ = 0.99942279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24059530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.785095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99942279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.262708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60517 KachelY 39979 -0.24059530 0.99942279 -13.785095 57.262708
    Oben rechts KachelX + 1 60518 KachelY 39979 -0.24054736 0.99942279 -13.782349 57.262708
    Unten links KachelX 60517 KachelY + 1 39980 -0.24059530 0.99939687 -13.785095 57.261223
    Unten rechts KachelX + 1 60518 KachelY + 1 39980 -0.24054736 0.99939687 -13.782349 57.261223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99942279-0.99939687) × R
    2.59200000000126e-05 × 6371000     		dl = 165.13632000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99942279-0.99939687) × R
    2.59200000000126e-05 × 6371000     		dr = 165.13632000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24059530--0.24054736) × cos(0.99942279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.540787921301679 × 6371000     		do = 165.17055104671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24059530--0.24054736) × cos(0.99939687) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.540809723960691 × 6371000     		du = 165.177210139973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99942279)-sin(0.99939687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540787921301679-0.540809723960691)×R²
    abs(-0.24054736--0.24059530)×2.18026590118603e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18026590118603e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18026590118603e-05×40589641000000     		ar = 27276.2068027717m²