Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60515 / 83523
↖ ↑ ↗
← S 44.219615°
W 13.790588°		 ← 218.84 m → S 44.219615°
W 13.787842°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 44.221584°
W 13.790588°		 ← 218.84 m →
47 906 m²		 S 44.221584°
W 13.787842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461696624755859 y=0.637233734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461696624755859 × 217)
    floor (0.461696624755859 × 131072)
    floor (60515.5)     		tx = 60515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637233734130859 × 217)
    floor (0.637233734130859 × 131072)
    floor (83523.5)     		ty = 83523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60515 / 83523 ti = "17/60515/83523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60515/83523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60515 ÷ 217
    60515 ÷ 131072     		x = 0.461692810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83523 ÷ 217
    83523 ÷ 131072     		y = 0.637229919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461692810058594 × 2 - 1) × π
    -0.0766143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24069117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637229919433594 × 2 - 1) × π
    -0.274459838867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.86224101346595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24069117} λ = -0.24069117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86224101346595))-π/2
    2×atan(0.422214832189577)-π/2
    2×0.399509222056485-π/2
    0.799018444112969-1.57079632675     		φ = -0.77177788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24069117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.790588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77177788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.219615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60515 KachelY 83523 -0.24069117 -0.77177788 -13.790588 -44.219615
    Oben rechts KachelX + 1 60516 KachelY 83523 -0.24064324 -0.77177788 -13.787842 -44.219615
    Unten links KachelX 60515 KachelY + 1 83524 -0.24069117 -0.77181224 -13.790588 -44.221584
    Unten rechts KachelX + 1 60516 KachelY + 1 83524 -0.24064324 -0.77181224 -13.787842 -44.221584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77177788--0.77181224) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dl = 218.90756000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77177788--0.77181224) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dr = 218.90756000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24069117--0.24064324) × cos(-0.77177788) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.716671890738606 × 6371000     		do = 218.844383399886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24069117--0.24064324) × cos(-0.77181224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.716647927290886 × 6371000     		du = 218.837065872845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77177788)-sin(-0.77181224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716671890738606-0.716647927290886)×R²
    abs(-0.24064324--0.24069117)×2.39634477195994e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39634477195994e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39634477195994e-05×40589641000000     		ar = 47905.8890634549m²