Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60515 / 40007
↖ ↑ ↗
← N 57.221096°
W 13.790588°		 ← 165.32 m → N 57.221096°
W 13.787842°		 →
↑
165.39 m
↓
↑
165.39 m
↓
N 57.219608°
W 13.790588°		 ← 165.33 m →
27 343 m²		 N 57.219608°
W 13.787842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461696624755859 y=0.305233001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461696624755859 × 217)
    floor (0.461696624755859 × 131072)
    floor (60515.5)     		tx = 60515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305233001708984 × 217)
    floor (0.305233001708984 × 131072)
    floor (40007.5)     		ty = 40007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60515 / 40007 ti = "17/60515/40007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60515/40007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60515 ÷ 217
    60515 ÷ 131072     		x = 0.461692810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40007 ÷ 217
    40007 ÷ 131072     		y = 0.305229187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461692810058594 × 2 - 1) × π
    -0.0766143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24069117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305229187011719 × 2 - 1) × π
    0.389541625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.22378111040041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24069117} λ = -0.24069117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22378111040041))-π/2
    2×atan(3.40001930790104)-π/2
    2×1.28474642232281-π/2
    2.56949284464562-1.57079632675     		φ = 0.99869652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24069117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.790588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99869652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.221096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60515 KachelY 40007 -0.24069117 0.99869652 -13.790588 57.221096
    Oben rechts KachelX + 1 60516 KachelY 40007 -0.24064324 0.99869652 -13.787842 57.221096
    Unten links KachelX 60515 KachelY + 1 40008 -0.24069117 0.99867056 -13.790588 57.219608
    Unten rechts KachelX + 1 60516 KachelY + 1 40008 -0.24064324 0.99867056 -13.787842 57.219608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99869652-0.99867056) × R
    2.59599999999915e-05 × 6371000     		dl = 165.391159999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99869652-0.99867056) × R
    2.59599999999915e-05 × 6371000     		dr = 165.391159999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24069117--0.24064324) × cos(0.99869652) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541398687153835 × 6371000     		do = 165.322602148635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24069117--0.24064324) × cos(0.99867056) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541420513256682 × 6371000     		du = 165.329267011708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99869652)-sin(0.99867056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541398687153835-0.541420513256682)×R²
    abs(-0.24064324--0.24069117)×2.18261028469557e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18261028469557e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18261028469557e-05×40589641000000     		ar = 27343.448099694m²