Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60514 / 40092
↖ ↑ ↗
← N 57.094484°
W 13.793335°		 ← 165.92 m → N 57.094484°
W 13.790588°		 →
↑
165.90 m
↓
↑
165.90 m
↓
N 57.092992°
W 13.793335°		 ← 165.93 m →
27 528 m²		 N 57.092992°
W 13.790588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461688995361328 y=0.305881500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461688995361328 × 217)
    floor (0.461688995361328 × 131072)
    floor (60514.5)     		tx = 60514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305881500244141 × 217)
    floor (0.305881500244141 × 131072)
    floor (40092.5)     		ty = 40092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60514 / 40092 ti = "17/60514/40092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60514/40092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60514 ÷ 217
    60514 ÷ 131072     		x = 0.461685180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40092 ÷ 217
    40092 ÷ 131072     		y = 0.305877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461685180664062 × 2 - 1) × π
    -0.076629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24073911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305877685546875 × 2 - 1) × π
    0.38824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21970647393271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24073911} λ = -0.24073911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21970647393271))-π/2
    2×atan(3.38619365162833)-π/2
    2×1.28364153030126-π/2
    2.56728306060253-1.57079632675     		φ = 0.99648673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24073911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.793335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99648673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.094484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60514 KachelY 40092 -0.24073911 0.99648673 -13.793335 57.094484
    Oben rechts KachelX + 1 60515 KachelY 40092 -0.24069117 0.99648673 -13.790588 57.094484
    Unten links KachelX 60514 KachelY + 1 40093 -0.24073911 0.99646069 -13.793335 57.092992
    Unten rechts KachelX + 1 60515 KachelY + 1 40093 -0.24069117 0.99646069 -13.790588 57.092992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99648673-0.99646069) × R
    2.60399999999494e-05 × 6371000     		dl = 165.900839999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99648673-0.99646069) × R
    2.60399999999494e-05 × 6371000     		dr = 165.900839999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24073911--0.24069117) × cos(0.99648673) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543255280063169 × 6371000     		do = 165.924145922188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24073911--0.24069117) × cos(0.99646069) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543277142218443 × 6371000     		du = 165.93082318714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99648673)-sin(0.99646069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543255280063169-0.543277142218443)×R²
    abs(-0.24069117--0.24073911)×2.18621552739995e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18621552739995e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18621552739995e-05×40589641000000     		ar = 27527.5090681244m²