Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60512 / 82909
↖ ↑ ↗
← S 42.998621°
W 13.798828°		 ← 223.33 m → S 42.998621°
W 13.796082°		 →
↑
223.37 m
↓
↑
223.37 m
↓
S 43.000630°
W 13.798828°		 ← 223.33 m →
49 884 m²		 S 43.000630°
W 13.796082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461673736572266 y=0.632549285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461673736572266 × 217)
    floor (0.461673736572266 × 131072)
    floor (60512.5)     		tx = 60512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632549285888672 × 217)
    floor (0.632549285888672 × 131072)
    floor (82909.5)     		ty = 82909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60512 / 82909 ti = "17/60512/82909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60512/82909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60512 ÷ 217
    60512 ÷ 131072     		x = 0.461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82909 ÷ 217
    82909 ÷ 131072     		y = 0.632545471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632545471191406 × 2 - 1) × π
    -0.265090942382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.832807757099236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24083498} λ = -0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832807757099236))-π/2
    2×atan(0.434826683031982)-π/2
    2×0.410164407231728-π/2
    0.820328814463456-1.57079632675     		φ = -0.75046751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75046751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.998621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60512 KachelY 82909 -0.24083498 -0.75046751 -13.798828 -42.998621
    Oben rechts KachelX + 1 60513 KachelY 82909 -0.24078705 -0.75046751 -13.796082 -42.998621
    Unten links KachelX 60512 KachelY + 1 82910 -0.24083498 -0.75050257 -13.798828 -43.000630
    Unten rechts KachelX + 1 60513 KachelY + 1 82910 -0.24078705 -0.75050257 -13.796082 -43.000630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75046751--0.75050257) × R
    3.50599999999757e-05 × 6371000     		dl = 223.367259999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75046751--0.75050257) × R
    3.50599999999757e-05 × 6371000     		dr = 223.367259999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24083498--0.24078705) × cos(-0.75046751) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.731370115987724 × 6371000     		do = 223.332663299354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24083498--0.24078705) × cos(-0.75050257) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.731346205292874 × 6371000     		du = 223.325361881036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75046751)-sin(-0.75050257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731370115987724-0.731346205292874)×R²
    abs(-0.24078705--0.24083498)×2.39106948503043e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39106948503043e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39106948503043e-05×40589641000000     		ar = 49884.3896257128m²