Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60512 / 34072
↖ ↑ ↗
← N 65.044333°
W 13.798828°		 ← 128.84 m → N 65.044333°
W 13.796082°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 65.043174°
W 13.798828°		 ← 128.84 m →
16 606 m²		 N 65.043174°
W 13.796082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461673736572266 y=0.259952545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461673736572266 × 217)
    floor (0.461673736572266 × 131072)
    floor (60512.5)     		tx = 60512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259952545166016 × 217)
    floor (0.259952545166016 × 131072)
    floor (34072.5)     		ty = 34072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60512 / 34072 ti = "17/60512/34072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60512/34072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60512 ÷ 217
    60512 ÷ 131072     		x = 0.461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34072 ÷ 217
    34072 ÷ 131072     		y = 0.25994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25994873046875 × 2 - 1) × π
    0.4801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50828660964545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24083498} λ = -0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50828660964545))-π/2
    2×atan(4.51898137821685)-π/2
    2×1.35301704592815-π/2
    2.70603409185631-1.57079632675     		φ = 1.13523777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13523777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.044333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60512 KachelY 34072 -0.24083498 1.13523777 -13.798828 65.044333
    Oben rechts KachelX + 1 60513 KachelY 34072 -0.24078705 1.13523777 -13.796082 65.044333
    Unten links KachelX 60512 KachelY + 1 34073 -0.24083498 1.13521754 -13.798828 65.043174
    Unten rechts KachelX + 1 60513 KachelY + 1 34073 -0.24078705 1.13521754 -13.796082 65.043174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13523777-1.13521754) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13523777-1.13521754) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24083498--0.24078705) × cos(1.13523777) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421916874027517 × 6371000     		do = 128.837393144301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24083498--0.24078705) × cos(1.13521754) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421935215157504 × 6371000     		du = 128.842993828987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13523777)-sin(1.13521754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421916874027517-0.421935215157504)×R²
    abs(-0.24078705--0.24083498)×1.83411299869429e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83411299869429e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83411299869429e-05×40589641000000     		ar = 16605.6108555019m²