Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60511 / 83515
↖ ↑ ↗
← S 44.203866°
W 13.801575°		 ← 218.95 m → S 44.203866°
W 13.798828°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 44.205835°
W 13.801575°		 ← 218.94 m →
47 929 m²		 S 44.205835°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461666107177734 y=0.637172698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461666107177734 × 217)
    floor (0.461666107177734 × 131072)
    floor (60511.5)     		tx = 60511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637172698974609 × 217)
    floor (0.637172698974609 × 131072)
    floor (83515.5)     		ty = 83515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60511 / 83515 ti = "17/60511/83515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60511/83515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60511 ÷ 217
    60511 ÷ 131072     		x = 0.461662292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83515 ÷ 217
    83515 ÷ 131072     		y = 0.637168884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461662292480469 × 2 - 1) × π
    -0.0766754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24088292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637168884277344 × 2 - 1) × π
    -0.274337768554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.86185751826899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24088292} λ = -0.24088292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86185751826899))-π/2
    2×atan(0.422376780601041)-π/2
    2×0.399646660546732-π/2
    0.799293321093463-1.57079632675     		φ = -0.77150301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24088292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.801575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77150301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.203866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60511 KachelY 83515 -0.24088292 -0.77150301 -13.801575 -44.203866
    Oben rechts KachelX + 1 60512 KachelY 83515 -0.24083498 -0.77150301 -13.798828 -44.203866
    Unten links KachelX 60511 KachelY + 1 83516 -0.24088292 -0.77153737 -13.801575 -44.205835
    Unten rechts KachelX + 1 60512 KachelY + 1 83516 -0.24083498 -0.77153737 -13.798828 -44.205835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77150301--0.77153737) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dl = 218.90756000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77150301--0.77153737) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dr = 218.90756000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24088292--0.24083498) × cos(-0.77150301) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716863560885903 × 6371000     		do = 218.948583562595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24088292--0.24083498) × cos(-0.77153737) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716839604207606 × 6371000     		du = 218.941266576399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77150301)-sin(-0.77153737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716863560885903-0.716839604207606)×R²
    abs(-0.24083498--0.24088292)×2.39566782962441e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39566782962441e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39566782962441e-05×40589641000000     		ar = 47928.6993261039m²