Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60511 / 40095
↖ ↑ ↗
← N 57.090007°
W 13.801575°		 ← 165.94 m → N 57.090007°
W 13.798828°		 →
↑
165.90 m
↓
↑
165.90 m
↓
N 57.088515°
W 13.801575°		 ← 165.95 m →
27 531 m²		 N 57.088515°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461666107177734 y=0.305904388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461666107177734 × 217)
    floor (0.461666107177734 × 131072)
    floor (60511.5)     		tx = 60511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305904388427734 × 217)
    floor (0.305904388427734 × 131072)
    floor (40095.5)     		ty = 40095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60511 / 40095 ti = "17/60511/40095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60511/40095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60511 ÷ 217
    60511 ÷ 131072     		x = 0.461662292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40095 ÷ 217
    40095 ÷ 131072     		y = 0.305900573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461662292480469 × 2 - 1) × π
    -0.0766754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24088292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305900573730469 × 2 - 1) × π
    0.388198852539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.21956266323385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24088292} λ = -0.24088292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21956266323385))-π/2
    2×atan(3.38570671576695)-π/2
    2×1.28360246498249-π/2
    2.56720492996498-1.57079632675     		φ = 0.99640860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24088292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.801575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99640860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.090007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60511 KachelY 40095 -0.24088292 0.99640860 -13.801575 57.090007
    Oben rechts KachelX + 1 60512 KachelY 40095 -0.24083498 0.99640860 -13.798828 57.090007
    Unten links KachelX 60511 KachelY + 1 40096 -0.24088292 0.99638256 -13.801575 57.088515
    Unten rechts KachelX + 1 60512 KachelY + 1 40096 -0.24083498 0.99638256 -13.798828 57.088515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99640860-0.99638256) × R
    2.60399999999494e-05 × 6371000     		dl = 165.900839999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99640860-0.99638256) × R
    2.60399999999494e-05 × 6371000     		dr = 165.900839999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24088292--0.24083498) × cos(0.99640860) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543320873819068 × 6371000     		do = 165.944179943623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24088292--0.24083498) × cos(0.99638256) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543342734868998 × 6371000     		du = 165.950856870975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99640860)-sin(0.99638256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543320873819068-0.543342734868998)×R²
    abs(-0.24083498--0.24088292)×2.18610499291838e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18610499291838e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18610499291838e-05×40589641000000     		ar = 27530.8327013698m²