Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60511 / 39842
↖ ↑ ↗
← N 57.465635°
W 13.801575°		 ← 164.26 m → N 57.465635°
W 13.798828°		 →
↑
164.24 m
↓
↑
164.24 m
↓
N 57.464158°
W 13.801575°		 ← 164.27 m →
26 979 m²		 N 57.464158°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461666107177734 y=0.303974151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461666107177734 × 217)
    floor (0.461666107177734 × 131072)
    floor (60511.5)     		tx = 60511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303974151611328 × 217)
    floor (0.303974151611328 × 131072)
    floor (39842.5)     		ty = 39842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60511 / 39842 ti = "17/60511/39842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60511/39842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60511 ÷ 217
    60511 ÷ 131072     		x = 0.461662292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39842 ÷ 217
    39842 ÷ 131072     		y = 0.303970336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461662292480469 × 2 - 1) × π
    -0.0766754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24088292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303970336914062 × 2 - 1) × π
    0.392059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23169069883772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24088292} λ = -0.24088292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23169069883772))-π/2
    2×atan(3.42701869757538)-π/2
    2×1.2868804326472-π/2
    2.5737608652944-1.57079632675     		φ = 1.00296454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24088292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.801575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00296454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.465635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60511 KachelY 39842 -0.24088292 1.00296454 -13.801575 57.465635
    Oben rechts KachelX + 1 60512 KachelY 39842 -0.24083498 1.00296454 -13.798828 57.465635
    Unten links KachelX 60511 KachelY + 1 39843 -0.24088292 1.00293876 -13.801575 57.464158
    Unten rechts KachelX + 1 60512 KachelY + 1 39843 -0.24083498 1.00293876 -13.798828 57.464158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00296454-1.00293876) × R
    2.57800000000863e-05 × 6371000     		dl = 164.24438000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00296454-1.00293876) × R
    2.57800000000863e-05 × 6371000     		dr = 164.24438000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24088292--0.24083498) × cos(1.00296454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.537805360907793 × 6371000     		do = 164.259600331217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24088292--0.24083498) × cos(1.00293876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.537827095048737 × 6371000     		du = 164.266238497298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00296454)-sin(1.00293876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537805360907793-0.537827095048737)×R²
    abs(-0.24083498--0.24088292)×2.17341409438632e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17341409438632e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17341409438632e-05×40589641000000     		ar = 26979.261357795m²