Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60510 / 83410
↖ ↑ ↗
← S 43.996766°
W 13.804321°		 ← 219.72 m → S 43.996766°
W 13.801575°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
S 43.998742°
W 13.804321°		 ← 219.71 m →
48 279 m²		 S 43.998742°
W 13.801575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461658477783203 y=0.636371612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461658477783203 × 217)
    floor (0.461658477783203 × 131072)
    floor (60510.5)     		tx = 60510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636371612548828 × 217)
    floor (0.636371612548828 × 131072)
    floor (83410.5)     		ty = 83410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60510 / 83410 ti = "17/60510/83410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60510/83410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60510 ÷ 217
    60510 ÷ 131072     		x = 0.461654663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83410 ÷ 217
    83410 ÷ 131072     		y = 0.636367797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461654663085938 × 2 - 1) × π
    -0.076690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24093086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636367797851562 × 2 - 1) × π
    -0.272735595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.856824143808884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24093086} λ = -0.24093086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856824143808884))-π/2
    2×atan(0.424508120517246)-π/2
    2×0.401453947332519-π/2
    0.802907894665039-1.57079632675     		φ = -0.76788843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24093086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.804321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76788843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.996766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60510 KachelY 83410 -0.24093086 -0.76788843 -13.804321 -43.996766
    Oben rechts KachelX + 1 60511 KachelY 83410 -0.24088292 -0.76788843 -13.801575 -43.996766
    Unten links KachelX 60510 KachelY + 1 83411 -0.24093086 -0.76792292 -13.804321 -43.998742
    Unten rechts KachelX + 1 60511 KachelY + 1 83411 -0.24088292 -0.76792292 -13.801575 -43.998742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76788843--0.76792292) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76788843--0.76792292) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24093086--0.24088292) × cos(-0.76788843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.719379006320871 × 6371000     		do = 219.716865346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24093086--0.24088292) × cos(-0.76792292) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.719355048526144 × 6371000     		du = 219.709548018817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76788843)-sin(-0.76792292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719379006320871-0.719355048526144)×R²
    abs(-0.24088292--0.24093086)×2.39577947267477e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39577947267477e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39577947267477e-05×40589641000000     		ar = 48278.8550485193m²