Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6051 / 7010
↖ ↑ ↗
← N 25.125393°
W 47.043457°		 ← 2 212.10 m → N 25.125393°
W 47.021484°		 →
↑
2 212.27 m
↓
↑
2 212.27 m
↓
N 25.105497°
W 47.043457°		 ← 2 212.46 m →
4 894 146 m²		 N 25.105497°
W 47.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369354248046875 y=0.427886962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369354248046875 × 214)
    floor (0.369354248046875 × 16384)
    floor (6051.5)     		tx = 6051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427886962890625 × 214)
    floor (0.427886962890625 × 16384)
    floor (7010.5)     		ty = 7010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6051 / 7010 ti = "14/6051/7010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6051/7010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6051 ÷ 214
    6051 ÷ 16384     		x = 0.36932373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7010 ÷ 214
    7010 ÷ 16384     		y = 0.4278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36932373046875 × 2 - 1) × π
    -0.2613525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82106322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    0.144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.453291322807251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82106322} λ = -0.82106322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453291322807251))-π/2
    2×atan(1.57348251109302)-π/2
    2×1.00465857685515-π/2
    2.00931715371031-1.57079632675     		φ = 0.43852083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82106322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43852083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.125393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6051 KachelY 7010 -0.82106322 0.43852083 -47.043457 25.125393
    Oben rechts KachelX + 1 6052 KachelY 7010 -0.82067972 0.43852083 -47.021484 25.125393
    Unten links KachelX 6051 KachelY + 1 7011 -0.82106322 0.43817359 -47.043457 25.105497
    Unten rechts KachelX + 1 6052 KachelY + 1 7011 -0.82067972 0.43817359 -47.021484 25.105497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43852083-0.43817359) × R
    0.000347239999999971 × 6371000     		dl = 2212.26603999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43852083-0.43817359) × R
    0.000347239999999971 × 6371000     		dr = 2212.26603999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82106322--0.82067972) × cos(0.43852083) × R
    0.000383499999999981 × 0.905380710096002 × 6371000     		do = 2212.09722329218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82106322--0.82067972) × cos(0.43817359) × R
    0.000383499999999981 × 0.905528093862963 × 6371000     		du = 2212.45732288125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43852083)-sin(0.43817359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905380710096002-0.905528093862963)×R²
    abs(-0.82067972--0.82106322)×0.000147383766961329×R²
    0.000383499999999981×0.000147383766961329×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147383766961329×40589641000000     		ar = 4894145.93148923m²