Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60509 / 83407
↖ ↑ ↗
← S 43.990838°
W 13.807068°		 ← 219.69 m → S 43.990838°
W 13.804321°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
S 43.992814°
W 13.807068°		 ← 219.69 m →
48 274 m²		 S 43.992814°
W 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461650848388672 y=0.636348724365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461650848388672 × 217)
    floor (0.461650848388672 × 131072)
    floor (60509.5)     		tx = 60509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636348724365234 × 217)
    floor (0.636348724365234 × 131072)
    floor (83407.5)     		ty = 83407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60509 / 83407 ti = "17/60509/83407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60509/83407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60509 ÷ 217
    60509 ÷ 131072     		x = 0.461647033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83407 ÷ 217
    83407 ÷ 131072     		y = 0.636344909667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461647033691406 × 2 - 1) × π
    -0.0767059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24097879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636344909667969 × 2 - 1) × π
    -0.272689819335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.856680333110024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24097879} λ = -0.24097879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856680333110024))-π/2
    2×atan(0.424569173716676)-π/2
    2×0.401505677114833-π/2
    0.803011354229667-1.57079632675     		φ = -0.76778497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24097879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.807068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76778497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.990838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60509 KachelY 83407 -0.24097879 -0.76778497 -13.807068 -43.990838
    Oben rechts KachelX + 1 60510 KachelY 83407 -0.24093086 -0.76778497 -13.804321 -43.990838
    Unten links KachelX 60509 KachelY + 1 83408 -0.24097879 -0.76781946 -13.807068 -43.992814
    Unten rechts KachelX + 1 60510 KachelY + 1 83408 -0.24093086 -0.76781946 -13.804321 -43.992814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76778497--0.76781946) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76778497--0.76781946) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24097879--0.24093086) × cos(-0.76778497) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719450867625036 × 6371000     		do = 219.692977423249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24097879--0.24093086) × cos(-0.76781946) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.71942691239738 × 6371000     		du = 219.685662406303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76778497)-sin(-0.76781946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719450867625036-0.71942691239738)×R²
    abs(-0.24093086--0.24097879)×2.39552276556365e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39552276556365e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39552276556365e-05×40589641000000     		ar = 48273.6062706556m²