Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60509 / 83026
↖ ↑ ↗
← S 43.233197°
W 13.807068°		 ← 222.48 m → S 43.233197°
W 13.804321°		 →
↑
222.54 m
↓
↑
222.54 m
↓
S 43.235199°
W 13.807068°		 ← 222.47 m →
49 509 m²		 S 43.235199°
W 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461650848388672 y=0.633441925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461650848388672 × 217)
    floor (0.461650848388672 × 131072)
    floor (60509.5)     		tx = 60509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633441925048828 × 217)
    floor (0.633441925048828 × 131072)
    floor (83026.5)     		ty = 83026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60509 / 83026 ti = "17/60509/83026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60509/83026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60509 ÷ 217
    60509 ÷ 131072     		x = 0.461647033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83026 ÷ 217
    83026 ÷ 131072     		y = 0.633438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461647033691406 × 2 - 1) × π
    -0.0767059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24097879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633438110351562 × 2 - 1) × π
    -0.266876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.838416374354782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24097879} λ = -0.24097879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838416374354782))-π/2
    2×atan(0.432394732908139)-π/2
    2×0.408117342919654-π/2
    0.816234685839308-1.57079632675     		φ = -0.75456164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24097879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.807068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75456164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.233197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60509 KachelY 83026 -0.24097879 -0.75456164 -13.807068 -43.233197
    Oben rechts KachelX + 1 60510 KachelY 83026 -0.24093086 -0.75456164 -13.804321 -43.233197
    Unten links KachelX 60509 KachelY + 1 83027 -0.24097879 -0.75459657 -13.807068 -43.235199
    Unten rechts KachelX + 1 60510 KachelY + 1 83027 -0.24093086 -0.75459657 -13.804321 -43.235199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75456164--0.75459657) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dl = 222.539029999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75456164--0.75459657) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dr = 222.539029999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24097879--0.24093086) × cos(-0.75456164) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.728571876341716 × 6371000     		do = 222.478187160623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24097879--0.24093086) × cos(-0.75459657) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.728547949917589 × 6371000     		du = 222.470880939181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75456164)-sin(-0.75459657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728571876341716-0.728547949917589)×R²
    abs(-0.24093086--0.24097879)×2.39264241270742e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39264241270742e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39264241270742e-05×40589641000000     		ar = 49509.267012203m²