Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60509 / 40098
↖ ↑ ↗
← N 57.085530°
W 13.807068°		 ← 165.93 m → N 57.085530°
W 13.804321°		 →
↑
165.96 m
↓
↑
165.96 m
↓
N 57.084038°
W 13.807068°		 ← 165.94 m →
27 539 m²		 N 57.084038°
W 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461650848388672 y=0.305927276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461650848388672 × 217)
    floor (0.461650848388672 × 131072)
    floor (60509.5)     		tx = 60509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305927276611328 × 217)
    floor (0.305927276611328 × 131072)
    floor (40098.5)     		ty = 40098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60509 / 40098 ti = "17/60509/40098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60509/40098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60509 ÷ 217
    60509 ÷ 131072     		x = 0.461647033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40098 ÷ 217
    40098 ÷ 131072     		y = 0.305923461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461647033691406 × 2 - 1) × π
    -0.0767059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24097879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305923461914062 × 2 - 1) × π
    0.388153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21941885253499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24097879} λ = -0.24097879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21941885253499))-π/2
    2×atan(3.38521984992712)-π/2
    2×1.28356339494697-π/2
    2.56712678989393-1.57079632675     		φ = 0.99633046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24097879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.807068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99633046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.085530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60509 KachelY 40098 -0.24097879 0.99633046 -13.807068 57.085530
    Oben rechts KachelX + 1 60510 KachelY 40098 -0.24093086 0.99633046 -13.804321 57.085530
    Unten links KachelX 60509 KachelY + 1 40099 -0.24097879 0.99630441 -13.807068 57.084038
    Unten rechts KachelX + 1 60510 KachelY + 1 40099 -0.24093086 0.99630441 -13.804321 57.084038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99633046-0.99630441) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dl = 165.964549999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99633046-0.99630441) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dr = 165.964549999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24097879--0.24093086) × cos(0.99633046) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543386472653203 × 6371000     		do = 165.929596363927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24097879--0.24093086) × cos(0.99630441) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543408340992197 × 6371000     		du = 165.936274124315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99633046)-sin(0.99630441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543386472653203-0.543408340992197)×R²
    abs(-0.24093086--0.24097879)×2.18683389947572e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18683389947572e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18683389947572e-05×40589641000000     		ar = 27538.9849295486m²