Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60508 / 84143
↖ ↑ ↗
← S 45.427371°
W 13.809814°		 ← 214.35 m → S 45.427371°
W 13.807068°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 45.429299°
W 13.809814°		 ← 214.34 m →
45 939 m²		 S 45.429299°
W 13.807068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461643218994141 y=0.641963958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461643218994141 × 217)
    floor (0.461643218994141 × 131072)
    floor (60508.5)     		tx = 60508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641963958740234 × 217)
    floor (0.641963958740234 × 131072)
    floor (84143.5)     		ty = 84143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60508 / 84143 ti = "17/60508/84143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60508/84143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60508 ÷ 217
    60508 ÷ 131072     		x = 0.461639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84143 ÷ 217
    84143 ÷ 131072     		y = 0.641960144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641960144042969 × 2 - 1) × π
    -0.283920288085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.891961891230385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24102673} λ = -0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891961891230385))-π/2
    2×atan(0.40985088062626)-π/2
    2×0.388969564606925-π/2
    0.777939129213851-1.57079632675     		φ = -0.79285720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79285720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.427371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60508 KachelY 84143 -0.24102673 -0.79285720 -13.809814 -45.427371
    Oben rechts KachelX + 1 60509 KachelY 84143 -0.24097879 -0.79285720 -13.807068 -45.427371
    Unten links KachelX 60508 KachelY + 1 84144 -0.24102673 -0.79289084 -13.809814 -45.429299
    Unten rechts KachelX + 1 60509 KachelY + 1 84144 -0.24097879 -0.79289084 -13.807068 -45.429299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79285720--0.79289084) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dl = 214.320439999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79285720--0.79289084) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dr = 214.320439999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24102673--0.24097879) × cos(-0.79285720) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.7018128240928 × 6371000     		do = 214.351701140017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24102673--0.24097879) × cos(-0.79289084) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701788859858306 × 6371000     		du = 214.344381845963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79285720)-sin(-0.79289084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7018128240928-0.701788859858306)×R²
    abs(-0.24097879--0.24102673)×2.39642344936897e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39642344936897e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39642344936897e-05×40589641000000     		ar = 45939.1665701621m²