Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60508 / 40683
↖ ↑ ↗
← N 56.202121°
W 13.809814°		 ← 169.90 m → N 56.202121°
W 13.807068°		 →
↑
169.85 m
↓
↑
169.85 m
↓
N 56.200593°
W 13.809814°		 ← 169.90 m →
28 858 m²		 N 56.200593°
W 13.807068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461643218994141 y=0.310390472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461643218994141 × 217)
    floor (0.461643218994141 × 131072)
    floor (60508.5)     		tx = 60508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310390472412109 × 217)
    floor (0.310390472412109 × 131072)
    floor (40683.5)     		ty = 40683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60508 / 40683 ti = "17/60508/40683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60508/40683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60508 ÷ 217
    60508 ÷ 131072     		x = 0.461639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40683 ÷ 217
    40683 ÷ 131072     		y = 0.310386657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310386657714844 × 2 - 1) × π
    0.379226684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19137576625726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24102673} λ = -0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19137576625726))-π/2
    2×atan(3.29160657500336)-π/2
    2×1.27585419043742-π/2
    2.55170838087485-1.57079632675     		φ = 0.98091205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98091205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.202121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60508 KachelY 40683 -0.24102673 0.98091205 -13.809814 56.202121
    Oben rechts KachelX + 1 60509 KachelY 40683 -0.24097879 0.98091205 -13.807068 56.202121
    Unten links KachelX 60508 KachelY + 1 40684 -0.24102673 0.98088539 -13.809814 56.200593
    Unten rechts KachelX + 1 60509 KachelY + 1 40684 -0.24097879 0.98088539 -13.807068 56.200593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98091205-0.98088539) × R
    2.66600000000672e-05 × 6371000     		dl = 169.850860000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98091205-0.98088539) × R
    2.66600000000672e-05 × 6371000     		dr = 169.850860000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24102673--0.24097879) × cos(0.98091205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556264860069008 × 6371000     		do = 169.89760652256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24102673--0.24097879) × cos(0.98088539) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556287014466152 × 6371000     		du = 169.904373045702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98091205)-sin(0.98088539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556264860069008-0.556287014466152)×R²
    abs(-0.24097879--0.24102673)×2.21543971439253e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21543971439253e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21543971439253e-05×40589641000000     		ar = 28857.8292313566m²