Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60507 / 84141
↖ ↑ ↗
← S 45.423516°
W 13.812561°		 ← 214.37 m → S 45.423516°
W 13.809814°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 45.425443°
W 13.812561°		 ← 214.36 m →
45 942 m²		 S 45.425443°
W 13.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461635589599609 y=0.641948699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461635589599609 × 217)
    floor (0.461635589599609 × 131072)
    floor (60507.5)     		tx = 60507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641948699951172 × 217)
    floor (0.641948699951172 × 131072)
    floor (84141.5)     		ty = 84141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60507 / 84141 ti = "17/60507/84141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60507/84141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60507 ÷ 217
    60507 ÷ 131072     		x = 0.461631774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84141 ÷ 217
    84141 ÷ 131072     		y = 0.641944885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461631774902344 × 2 - 1) × π
    -0.0767364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24107467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641944885253906 × 2 - 1) × π
    -0.283889770507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.891866017431145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24107467} λ = -0.24107467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891866017431145))-π/2
    2×atan(0.409890176470999)-π/2
    2×0.389003208486755-π/2
    0.778006416973509-1.57079632675     		φ = -0.79278991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24107467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.812561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79278991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.423516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60507 KachelY 84141 -0.24107467 -0.79278991 -13.812561 -45.423516
    Oben rechts KachelX + 1 60508 KachelY 84141 -0.24102673 -0.79278991 -13.809814 -45.423516
    Unten links KachelX 60507 KachelY + 1 84142 -0.24107467 -0.79282355 -13.812561 -45.425443
    Unten rechts KachelX + 1 60508 KachelY + 1 84142 -0.24102673 -0.79282355 -13.809814 -45.425443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79278991--0.79282355) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79278991--0.79282355) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24107467--0.24102673) × cos(-0.79278991) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701860757302284 × 6371000     		do = 214.366341175994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24107467--0.24102673) × cos(-0.79282355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701836794656466 × 6371000     		du = 214.359022367163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79278991)-sin(-0.79282355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701860757302284-0.701836794656466)×R²
    abs(-0.24102673--0.24107467)×2.39626458181652e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39626458181652e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39626458181652e-05×40589641000000     		ar = 45942.3042811553m²