Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60507 / 83509
↖ ↑ ↗
← S 44.192051°
W 13.812561°		 ← 218.99 m → S 44.192051°
W 13.809814°		 →
↑
218.97 m
↓
↑
218.97 m
↓
S 44.194021°
W 13.812561°		 ← 218.99 m →
47 952 m²		 S 44.194021°
W 13.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461635589599609 y=0.637126922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461635589599609 × 217)
    floor (0.461635589599609 × 131072)
    floor (60507.5)     		tx = 60507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637126922607422 × 217)
    floor (0.637126922607422 × 131072)
    floor (83509.5)     		ty = 83509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60507 / 83509 ti = "17/60507/83509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60507/83509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60507 ÷ 217
    60507 ÷ 131072     		x = 0.461631774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83509 ÷ 217
    83509 ÷ 131072     		y = 0.637123107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461631774902344 × 2 - 1) × π
    -0.0767364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24107467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637123107910156 × 2 - 1) × π
    -0.274246215820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.861569896871269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24107467} λ = -0.24107467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861569896871269))-π/2
    2×atan(0.422498282673503)-π/2
    2×0.399749763533567-π/2
    0.799499527067134-1.57079632675     		φ = -0.77129680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24107467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.812561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77129680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.192051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60507 KachelY 83509 -0.24107467 -0.77129680 -13.812561 -44.192051
    Oben rechts KachelX + 1 60508 KachelY 83509 -0.24102673 -0.77129680 -13.809814 -44.192051
    Unten links KachelX 60507 KachelY + 1 83510 -0.24107467 -0.77133117 -13.812561 -44.194021
    Unten rechts KachelX + 1 60508 KachelY + 1 83510 -0.24102673 -0.77133117 -13.809814 -44.194021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77129680--0.77133117) × R
    3.43699999999503e-05 × 6371000     		dl = 218.971269999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77129680--0.77133117) × R
    3.43699999999503e-05 × 6371000     		dr = 218.971269999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24107467--0.24102673) × cos(-0.77129680) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717007318034917 × 6371000     		do = 218.992490696213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24107467--0.24102673) × cos(-0.77133117) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71698335946539 × 6371000     		du = 218.985173132386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77129680)-sin(-0.77133117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717007318034917-0.71698335946539)×R²
    abs(-0.24102673--0.24107467)×2.39585695269717e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39585695269717e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39585695269717e-05×40589641000000     		ar = 47952.2626447184m²