Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60507 / 40145
↖ ↑ ↗
← N 57.015319°
W 13.812561°		 ← 166.28 m → N 57.015319°
W 13.809814°		 →
↑
166.28 m
↓
↑
166.28 m
↓
N 57.013824°
W 13.812561°		 ← 166.28 m →
27 650 m²		 N 57.013824°
W 13.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461635589599609 y=0.306285858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461635589599609 × 217)
    floor (0.461635589599609 × 131072)
    floor (60507.5)     		tx = 60507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306285858154297 × 217)
    floor (0.306285858154297 × 131072)
    floor (40145.5)     		ty = 40145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60507 / 40145 ti = "17/60507/40145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60507/40145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60507 ÷ 217
    60507 ÷ 131072     		x = 0.461631774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40145 ÷ 217
    40145 ÷ 131072     		y = 0.306282043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461631774902344 × 2 - 1) × π
    -0.0767364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24107467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306282043457031 × 2 - 1) × π
    0.387435913085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21716581825285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24107467} λ = -0.24107467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21716581825285))-π/2
    2×atan(3.37760141906829)-π/2
    2×1.28295068167221-π/2
    2.56590136334442-1.57079632675     		φ = 0.99510504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24107467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.812561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99510504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.015319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60507 KachelY 40145 -0.24107467 0.99510504 -13.812561 57.015319
    Oben rechts KachelX + 1 60508 KachelY 40145 -0.24102673 0.99510504 -13.809814 57.015319
    Unten links KachelX 60507 KachelY + 1 40146 -0.24107467 0.99507894 -13.812561 57.013824
    Unten rechts KachelX + 1 60508 KachelY + 1 40146 -0.24102673 0.99507894 -13.809814 57.013824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99510504-0.99507894) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dl = 166.283100000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99510504-0.99507894) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dr = 166.283100000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24107467--0.24102673) × cos(0.99510504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544414783251299 × 6371000     		do = 166.278288041455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24107467--0.24102673) × cos(0.99507894) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544436676167541 × 6371000     		du = 166.284974701599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99510504)-sin(0.99507894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544414783251299-0.544436676167541)×R²
    abs(-0.24102673--0.24107467)×2.18929162419945e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18929162419945e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18929162419945e-05×40589641000000     		ar = 27649.8251392207m²