Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60506 / 83025
↖ ↑ ↗
← S 43.231196°
W 13.815308°		 ← 222.53 m → S 43.231196°
W 13.812561°		 →
↑
222.54 m
↓
↑
222.54 m
↓
S 43.233197°
W 13.815308°		 ← 222.52 m →
49 521 m²		 S 43.233197°
W 13.812561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461627960205078 y=0.633434295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461627960205078 × 217)
    floor (0.461627960205078 × 131072)
    floor (60506.5)     		tx = 60506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633434295654297 × 217)
    floor (0.633434295654297 × 131072)
    floor (83025.5)     		ty = 83025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60506 / 83025 ti = "17/60506/83025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60506/83025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60506 ÷ 217
    60506 ÷ 131072     		x = 0.461624145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83025 ÷ 217
    83025 ÷ 131072     		y = 0.633430480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461624145507812 × 2 - 1) × π
    -0.076751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24112261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633430480957031 × 2 - 1) × π
    -0.266860961914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.838368437455162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24112261} λ = -0.24112261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838368437455162))-π/2
    2×atan(0.432415461067864)-π/2
    2×0.408134805944786-π/2
    0.816269611889572-1.57079632675     		φ = -0.75452671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24112261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.815308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75452671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.231196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60506 KachelY 83025 -0.24112261 -0.75452671 -13.815308 -43.231196
    Oben rechts KachelX + 1 60507 KachelY 83025 -0.24107467 -0.75452671 -13.812561 -43.231196
    Unten links KachelX 60506 KachelY + 1 83026 -0.24112261 -0.75456164 -13.815308 -43.233197
    Unten rechts KachelX + 1 60507 KachelY + 1 83026 -0.24107467 -0.75456164 -13.812561 -43.233197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75452671--0.75456164) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dl = 222.539029999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75452671--0.75456164) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dr = 222.539029999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24112261--0.24107467) × cos(-0.75452671) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.728595801876909 × 6371000     		do = 222.531911949131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24112261--0.24107467) × cos(-0.75456164) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.728571876341716 × 6371000     		du = 222.52460447484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75452671)-sin(-0.75456164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728595801876909-0.728571876341716)×R²
    abs(-0.24107467--0.24112261)×2.39255351929257e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39255351929257e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39255351929257e-05×40589641000000     		ar = 49521.2227351453m²