Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60506 / 55990
↖ ↑ ↗
← N 25.348990°
W 13.815308°		 ← 276.02 m → N 25.348990°
W 13.812561°		 →
↑
275.99 m
↓
↑
275.99 m
↓
N 25.346508°
W 13.815308°		 ← 276.02 m →
76 180 m²		 N 25.346508°
W 13.812561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461627960205078 y=0.427173614501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461627960205078 × 217)
    floor (0.461627960205078 × 131072)
    floor (60506.5)     		tx = 60506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427173614501953 × 217)
    floor (0.427173614501953 × 131072)
    floor (55990.5)     		ty = 55990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60506 / 55990 ti = "17/60506/55990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60506/55990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60506 ÷ 217
    60506 ÷ 131072     		x = 0.461624145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55990 ÷ 217
    55990 ÷ 131072     		y = 0.427169799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461624145507812 × 2 - 1) × π
    -0.076751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24112261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427169799804688 × 2 - 1) × π
    0.145660400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.457605643773056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24112261} λ = -0.24112261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457605643773056))-π/2
    2×atan(1.58028568466465)-π/2
    2×1.00660983562235-π/2
    2.0132196712447-1.57079632675     		φ = 0.44242334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24112261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.815308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44242334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.348990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60506 KachelY 55990 -0.24112261 0.44242334 -13.815308 25.348990
    Oben rechts KachelX + 1 60507 KachelY 55990 -0.24107467 0.44242334 -13.812561 25.348990
    Unten links KachelX 60506 KachelY + 1 55991 -0.24112261 0.44238002 -13.815308 25.346508
    Unten rechts KachelX + 1 60507 KachelY + 1 55991 -0.24107467 0.44238002 -13.812561 25.346508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44242334-0.44238002) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dl = 275.991720000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44242334-0.44238002) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dr = 275.991720000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24112261--0.24107467) × cos(0.44242334) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903716811476472 × 6371000     		do = 276.018375895621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24112261--0.24107467) × cos(0.44238002) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903735357251858 × 6371000     		du = 276.024040252792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44242334)-sin(0.44238002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903716811476472-0.903735357251858)×R²
    abs(-0.24107467--0.24112261)×1.85457753859586e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85457753859586e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85457753859586e-05×40589641000000     		ar = 76179.567984854m²