Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60505 / 83513
↖ ↑ ↗
← S 44.199928°
W 13.818054°		 ← 218.92 m → S 44.199928°
W 13.815308°		 →
↑
218.97 m
↓
↑
218.97 m
↓
S 44.201897°
W 13.818054°		 ← 218.91 m →
47 936 m²		 S 44.201897°
W 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461620330810547 y=0.637157440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461620330810547 × 217)
    floor (0.461620330810547 × 131072)
    floor (60505.5)     		tx = 60505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637157440185547 × 217)
    floor (0.637157440185547 × 131072)
    floor (83513.5)     		ty = 83513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60505 / 83513 ti = "17/60505/83513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60505/83513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60505 ÷ 217
    60505 ÷ 131072     		x = 0.461616516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83513 ÷ 217
    83513 ÷ 131072     		y = 0.637153625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461616516113281 × 2 - 1) × π
    -0.0767669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24117054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637153625488281 × 2 - 1) × π
    -0.274307250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.861761644469749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24117054} λ = -0.24117054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861761644469749))-π/2
    2×atan(0.422417277408969)-π/2
    2×0.399681025911963-π/2
    0.799362051823926-1.57079632675     		φ = -0.77143427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24117054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.818054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77143427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.199928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60505 KachelY 83513 -0.24117054 -0.77143427 -13.818054 -44.199928
    Oben rechts KachelX + 1 60506 KachelY 83513 -0.24112261 -0.77143427 -13.815308 -44.199928
    Unten links KachelX 60505 KachelY + 1 83514 -0.24117054 -0.77146864 -13.818054 -44.201897
    Unten rechts KachelX + 1 60506 KachelY + 1 83514 -0.24112261 -0.77146864 -13.815308 -44.201897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77143427--0.77146864) × R
    3.43700000000613e-05 × 6371000     		dl = 218.971270000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77143427--0.77146864) × R
    3.43700000000613e-05 × 6371000     		dr = 218.971270000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24117054--0.24112261) × cos(-0.77143427) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.716911485646743 × 6371000     		do = 218.917546587412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24117054--0.24112261) × cos(-0.77146864) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.716887523689751 × 6371000     		du = 218.910229515583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77143427)-sin(-0.77146864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716911485646743-0.716887523689751)×R²
    abs(-0.24112261--0.24117054)×2.39619569916139e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39619569916139e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39619569916139e-05×40589641000000     		ar = 47935.8520920277m²