Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60505 / 56005
↖ ↑ ↗
← N 25.311752°
W 13.818054°		 ← 276.05 m → N 25.311752°
W 13.815308°		 →
↑
276.06 m
↓
↑
276.06 m
↓
N 25.309270°
W 13.818054°		 ← 276.05 m →
76 205 m²		 N 25.309270°
W 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461620330810547 y=0.427288055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461620330810547 × 217)
    floor (0.461620330810547 × 131072)
    floor (60505.5)     		tx = 60505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427288055419922 × 217)
    floor (0.427288055419922 × 131072)
    floor (56005.5)     		ty = 56005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60505 / 56005 ti = "17/60505/56005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60505/56005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60505 ÷ 217
    60505 ÷ 131072     		x = 0.461616516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56005 ÷ 217
    56005 ÷ 131072     		y = 0.427284240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461616516113281 × 2 - 1) × π
    -0.0767669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24117054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427284240722656 × 2 - 1) × π
    0.145431518554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.456886590278755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24117054} λ = -0.24117054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456886590278755))-π/2
    2×atan(1.57914978315702)-π/2
    2×1.00628487526355-π/2
    2.0125697505271-1.57079632675     		φ = 0.44177342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24117054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.818054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44177342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.311752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60505 KachelY 56005 -0.24117054 0.44177342 -13.818054 25.311752
    Oben rechts KachelX + 1 60506 KachelY 56005 -0.24112261 0.44177342 -13.815308 25.311752
    Unten links KachelX 60505 KachelY + 1 56006 -0.24117054 0.44173009 -13.818054 25.309270
    Unten rechts KachelX + 1 60506 KachelY + 1 56006 -0.24112261 0.44173009 -13.815308 25.309270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44177342-0.44173009) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dl = 276.055430000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44177342-0.44173009) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dr = 276.055430000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24117054--0.24112261) × cos(0.44177342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903994871319783 × 6371000     		do = 276.045709015807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24117054--0.24112261) × cos(0.44173009) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.904013395922308 × 6371000     		du = 276.051365726039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44177342)-sin(0.44173009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903994871319783-0.904013395922308)×R²
    abs(-0.24112261--0.24117054)×1.85246025251606e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85246025251606e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85246025251606e-05×40589641000000     		ar = 76204.6976967622m²