Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60505 / 40016
↖ ↑ ↗
← N 57.207710°
W 13.818054°		 ← 165.38 m → N 57.207710°
W 13.815308°		 →
↑
165.39 m
↓
↑
165.39 m
↓
N 57.206223°
W 13.818054°		 ← 165.39 m →
27 353 m²		 N 57.206223°
W 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461620330810547 y=0.305301666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461620330810547 × 217)
    floor (0.461620330810547 × 131072)
    floor (60505.5)     		tx = 60505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305301666259766 × 217)
    floor (0.305301666259766 × 131072)
    floor (40016.5)     		ty = 40016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60505 / 40016 ti = "17/60505/40016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60505/40016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60505 ÷ 217
    60505 ÷ 131072     		x = 0.461616516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40016 ÷ 217
    40016 ÷ 131072     		y = 0.3052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461616516113281 × 2 - 1) × π
    -0.0767669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24117054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3052978515625 × 2 - 1) × π
    0.389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22334967830383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24117054} λ = -0.24117054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22334967830383))-π/2
    2×atan(3.39855274682612)-π/2
    2×1.28462961275405-π/2
    2.56925922550811-1.57079632675     		φ = 0.99846290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24117054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.818054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99846290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.207710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60505 KachelY 40016 -0.24117054 0.99846290 -13.818054 57.207710
    Oben rechts KachelX + 1 60506 KachelY 40016 -0.24112261 0.99846290 -13.815308 57.207710
    Unten links KachelX 60505 KachelY + 1 40017 -0.24117054 0.99843694 -13.818054 57.206223
    Unten rechts KachelX + 1 60506 KachelY + 1 40017 -0.24112261 0.99843694 -13.815308 57.206223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99846290-0.99843694) × R
    2.59599999999915e-05 × 6371000     		dl = 165.391159999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99846290-0.99843694) × R
    2.59599999999915e-05 × 6371000     		dr = 165.391159999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24117054--0.24112261) × cos(0.99846290) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541595092129933 × 6371000     		do = 165.382576770839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24117054--0.24112261) × cos(0.99843694) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541616914948657 × 6371000     		du = 165.389240631065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99846290)-sin(0.99843694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541595092129933-0.541616914948657)×R²
    abs(-0.24112261--0.24117054)×2.18228187239822e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18228187239822e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18228187239822e-05×40589641000000     		ar = 27353.3672892501m²