Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60504 / 56520
↖ ↑ ↗
← N 24.026397°
W 13.820801°		 ← 278.96 m → N 24.026397°
W 13.818054°		 →
↑
278.92 m
↓
↑
278.92 m
↓
N 24.023888°
W 13.820801°		 ← 278.97 m →
77 810 m²		 N 24.023888°
W 13.818054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461612701416016 y=0.431217193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461612701416016 × 217)
    floor (0.461612701416016 × 131072)
    floor (60504.5)     		tx = 60504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431217193603516 × 217)
    floor (0.431217193603516 × 131072)
    floor (56520.5)     		ty = 56520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60504 / 56520 ti = "17/60504/56520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60504/56520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60504 ÷ 217
    60504 ÷ 131072     		x = 0.46160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56520 ÷ 217
    56520 ÷ 131072     		y = 0.43121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24121848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43121337890625 × 2 - 1) × π
    0.1375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.432199086974426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24121848} λ = -0.24121848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432199086974426))-π/2
    2×atan(1.5406418063469)-π/2
    2×0.995068027997902-π/2
    1.9901360559958-1.57079632675     		φ = 0.41933973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24121848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41933973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.026397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60504 KachelY 56520 -0.24121848 0.41933973 -13.820801 24.026397
    Oben rechts KachelX + 1 60505 KachelY 56520 -0.24117054 0.41933973 -13.818054 24.026397
    Unten links KachelX 60504 KachelY + 1 56521 -0.24121848 0.41929595 -13.820801 24.023888
    Unten rechts KachelX + 1 60505 KachelY + 1 56521 -0.24117054 0.41929595 -13.818054 24.023888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41933973-0.41929595) × R
    4.37800000000488e-05 × 6371000     		dl = 278.922380000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41933973-0.41929595) × R
    4.37800000000488e-05 × 6371000     		dr = 278.922380000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24121848--0.24117054) × cos(0.41933973) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913357973253578 × 6371000     		do = 278.963034866014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24121848--0.24117054) × cos(0.41929595) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913375797732691 × 6371000     		du = 278.968478920738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41933973)-sin(0.41929595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913357973253578-0.913375797732691)×R²
    abs(-0.24117054--0.24121848)×1.78244791130266e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78244791130266e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78244791130266e-05×40589641000000     		ar = 77809.7928636541m²