Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60503 / 40015
↖ ↑ ↗
← N 57.209198°
W 13.823548°		 ← 165.41 m → N 57.209198°
W 13.820801°		 →
↑
165.39 m
↓
↑
165.39 m
↓
N 57.207710°
W 13.823548°		 ← 165.42 m →
27 358 m²		 N 57.207710°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461605072021484 y=0.305294036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461605072021484 × 217)
    floor (0.461605072021484 × 131072)
    floor (60503.5)     		tx = 60503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305294036865234 × 217)
    floor (0.305294036865234 × 131072)
    floor (40015.5)     		ty = 40015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60503 / 40015 ti = "17/60503/40015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60503/40015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60503 ÷ 217
    60503 ÷ 131072     		x = 0.461601257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40015 ÷ 217
    40015 ÷ 131072     		y = 0.305290222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461601257324219 × 2 - 1) × π
    -0.0767974853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24126642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305290222167969 × 2 - 1) × π
    0.389419555664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.22339761520345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24126642} λ = -0.24126642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22339761520345))-π/2
    2×atan(3.39871566681291)-π/2
    2×1.28464259368731-π/2
    2.56928518737462-1.57079632675     		φ = 0.99848886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24126642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.823548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99848886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.209198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60503 KachelY 40015 -0.24126642 0.99848886 -13.823548 57.209198
    Oben rechts KachelX + 1 60504 KachelY 40015 -0.24121848 0.99848886 -13.820801 57.209198
    Unten links KachelX 60503 KachelY + 1 40016 -0.24126642 0.99846290 -13.823548 57.207710
    Unten rechts KachelX + 1 60504 KachelY + 1 40016 -0.24121848 0.99846290 -13.820801 57.207710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99848886-0.99846290) × R
    2.59599999999915e-05 × 6371000     		dl = 165.391159999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99848886-0.99846290) × R
    2.59599999999915e-05 × 6371000     		dr = 165.391159999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24126642--0.24121848) × cos(0.99848886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541573268946217 × 6371000     		do = 165.410416432105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24126642--0.24121848) × cos(0.99846290) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541595092129933 × 6371000     		du = 165.41708179414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99848886)-sin(0.99846290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541573268946217-0.541595092129933)×R²
    abs(-0.24121848--0.24126642)×2.18231837164629e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18231837164629e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18231837164629e-05×40589641000000     		ar = 27357.9718472199m²