Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60502 / 55994
↖ ↑ ↗
← N 25.339061°
W 13.826294°		 ← 275.98 m → N 25.339061°
W 13.823548°		 →
↑
275.99 m
↓
↑
275.99 m
↓
N 25.336579°
W 13.826294°		 ← 275.99 m →
76 170 m²		 N 25.336579°
W 13.823548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461597442626953 y=0.427204132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461597442626953 × 217)
    floor (0.461597442626953 × 131072)
    floor (60502.5)     		tx = 60502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427204132080078 × 217)
    floor (0.427204132080078 × 131072)
    floor (55994.5)     		ty = 55994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60502 / 55994 ti = "17/60502/55994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60502/55994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60502 ÷ 217
    60502 ÷ 131072     		x = 0.461593627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55994 ÷ 217
    55994 ÷ 131072     		y = 0.427200317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461593627929688 × 2 - 1) × π
    -0.076812744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24131435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427200317382812 × 2 - 1) × π
    0.145599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.457413896174576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24131435} λ = -0.24131435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457413896174576))-π/2
    2×atan(1.57998269772914)-π/2
    2×1.00652318930233-π/2
    2.01304637860466-1.57079632675     		φ = 0.44225005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24131435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.826294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44225005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.339061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60502 KachelY 55994 -0.24131435 0.44225005 -13.826294 25.339061
    Oben rechts KachelX + 1 60503 KachelY 55994 -0.24126642 0.44225005 -13.823548 25.339061
    Unten links KachelX 60502 KachelY + 1 55995 -0.24131435 0.44220673 -13.826294 25.336579
    Unten rechts KachelX + 1 60503 KachelY + 1 55995 -0.24126642 0.44220673 -13.823548 25.336579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44225005-0.44220673) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dl = 275.991720000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44225005-0.44220673) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dr = 275.991720000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24131435--0.24126642) × cos(0.44225005) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903790988681798 × 6371000     		do = 275.98345099959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24131435--0.24126642) × cos(0.44220673) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903809527672704 × 6371000     		du = 275.989112103487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44225005)-sin(0.44220673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903790988681798-0.903809527672704)×R²
    abs(-0.24126642--0.24131435)×1.85389909056477e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85389909056477e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85389909056477e-05×40589641000000     		ar = 76169.9285536874m²