Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60501 / 83413
↖ ↑ ↗
← S 44.002693°
W 13.829041°		 ← 219.69 m → S 44.002693°
W 13.826294°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
S 44.004669°
W 13.829041°		 ← 219.69 m →
48 260 m²		 S 44.004669°
W 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461589813232422 y=0.636394500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461589813232422 × 217)
    floor (0.461589813232422 × 131072)
    floor (60501.5)     		tx = 60501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636394500732422 × 217)
    floor (0.636394500732422 × 131072)
    floor (83413.5)     		ty = 83413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60501 / 83413 ti = "17/60501/83413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60501/83413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60501 ÷ 217
    60501 ÷ 131072     		x = 0.461585998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83413 ÷ 217
    83413 ÷ 131072     		y = 0.636390686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461585998535156 × 2 - 1) × π
    -0.0768280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24136229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636390686035156 × 2 - 1) × π
    -0.272781372070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.856967954507744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24136229} λ = -0.24136229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856967954507744))-π/2
    2×atan(0.424447076097288)-π/2
    2×0.401402222717414-π/2
    0.802804445434829-1.57079632675     		φ = -0.76799188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24136229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.829041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76799188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.002693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60501 KachelY 83413 -0.24136229 -0.76799188 -13.829041 -44.002693
    Oben rechts KachelX + 1 60502 KachelY 83413 -0.24131435 -0.76799188 -13.826294 -44.002693
    Unten links KachelX 60501 KachelY + 1 83414 -0.24136229 -0.76802636 -13.829041 -44.004669
    Unten rechts KachelX + 1 60502 KachelY + 1 83414 -0.24131435 -0.76802636 -13.826294 -44.004669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76799188--0.76802636) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dl = 219.672080000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76799188--0.76802636) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dr = 219.672080000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24136229--0.24131435) × cos(-0.76799188) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.719307144263415 × 6371000     		do = 219.694916823923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24136229--0.24131435) × cos(-0.76802636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.719283190849292 × 6371000     		du = 219.687600834689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76799188)-sin(-0.76802636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719307144263415-0.719283190849292)×R²
    abs(-0.24131435--0.24136229)×2.39534141233122e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39534141233122e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39534141233122e-05×40589641000000     		ar = 48260.035789861m²