Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60501 / 83403
↖ ↑ ↗
← S 43.982934°
W 13.829041°		 ← 219.77 m → S 43.982934°
W 13.826294°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
S 43.984910°
W 13.829041°		 ← 219.76 m →
48 290 m²		 S 43.984910°
W 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461589813232422 y=0.636318206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461589813232422 × 217)
    floor (0.461589813232422 × 131072)
    floor (60501.5)     		tx = 60501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636318206787109 × 217)
    floor (0.636318206787109 × 131072)
    floor (83403.5)     		ty = 83403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60501 / 83403 ti = "17/60501/83403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60501/83403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60501 ÷ 217
    60501 ÷ 131072     		x = 0.461585998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83403 ÷ 217
    83403 ÷ 131072     		y = 0.636314392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461585998535156 × 2 - 1) × π
    -0.0768280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24136229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636314392089844 × 2 - 1) × π
    -0.272628784179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.856488585511543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24136229} λ = -0.24136229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856488585511543))-π/2
    2×atan(0.424650591641721)-π/2
    2×0.401574658195735-π/2
    0.80314931639147-1.57079632675     		φ = -0.76764701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24136229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.829041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76764701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.982934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60501 KachelY 83403 -0.24136229 -0.76764701 -13.829041 -43.982934
    Oben rechts KachelX + 1 60502 KachelY 83403 -0.24131435 -0.76764701 -13.826294 -43.982934
    Unten links KachelX 60501 KachelY + 1 83404 -0.24136229 -0.76768150 -13.829041 -43.984910
    Unten rechts KachelX + 1 60502 KachelY + 1 83404 -0.24131435 -0.76768150 -13.826294 -43.984910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76764701--0.76768150) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76764701--0.76768150) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24136229--0.24131435) × cos(-0.76764701) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.719546679977073 × 6371000     		do = 219.768077196524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24136229--0.24131435) × cos(-0.76768150) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.719522728172908 × 6371000     		du = 219.760761699013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76764701)-sin(-0.76768150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719546679977073-0.719522728172908)×R²
    abs(-0.24131435--0.24136229)×2.39518041644793e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39518041644793e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39518041644793e-05×40589641000000     		ar = 48290.1083259987m²