Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60501 / 82446
↖ ↑ ↗
← S 42.061528°
W 13.829041°		 ← 226.76 m → S 42.061528°
W 13.826294°		 →
↑
226.74 m
↓
↑
226.74 m
↓
S 42.063568°
W 13.829041°		 ← 226.75 m →
51 415 m²		 S 42.063568°
W 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461589813232422 y=0.629016876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461589813232422 × 217)
    floor (0.461589813232422 × 131072)
    floor (60501.5)     		tx = 60501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629016876220703 × 217)
    floor (0.629016876220703 × 131072)
    floor (82446.5)     		ty = 82446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60501 / 82446 ti = "17/60501/82446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60501/82446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60501 ÷ 217
    60501 ÷ 131072     		x = 0.461585998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82446 ÷ 217
    82446 ÷ 131072     		y = 0.629013061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461585998535156 × 2 - 1) × π
    -0.0768280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24136229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629013061523438 × 2 - 1) × π
    -0.258026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81061297257515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24136229} λ = -0.24136229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81061297257515))-π/2
    2×atan(0.444585463985896)-π/2
    2×0.418342082002019-π/2
    0.836684164004038-1.57079632675     		φ = -0.73411216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24136229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.829041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73411216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.061528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60501 KachelY 82446 -0.24136229 -0.73411216 -13.829041 -42.061528
    Oben rechts KachelX + 1 60502 KachelY 82446 -0.24131435 -0.73411216 -13.826294 -42.061528
    Unten links KachelX 60501 KachelY + 1 82447 -0.24136229 -0.73414775 -13.829041 -42.063568
    Unten rechts KachelX + 1 60502 KachelY + 1 82447 -0.24131435 -0.73414775 -13.826294 -42.063568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73411216--0.73414775) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dl = 226.743889999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73411216--0.73414775) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dr = 226.743889999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24136229--0.24131435) × cos(-0.73411216) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.742425835046686 × 6371000     		do = 226.755960064235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24136229--0.24131435) × cos(-0.73414775) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.742401991829564 × 6371000     		du = 226.748677732001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73411216)-sin(-0.73414775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742425835046686-0.742401991829564)×R²
    abs(-0.24131435--0.24136229)×2.38432171214553e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38432171214553e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38432171214553e-05×40589641000000     		ar = 51414.7028590444m²