Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60501 / 55929
↖ ↑ ↗
← N 25.500305°
W 13.829041°		 ← 275.67 m → N 25.500305°
W 13.826294°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 25.497826°
W 13.829041°		 ← 275.68 m →
75 996 m²		 N 25.497826°
W 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461589813232422 y=0.426708221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461589813232422 × 217)
    floor (0.461589813232422 × 131072)
    floor (60501.5)     		tx = 60501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426708221435547 × 217)
    floor (0.426708221435547 × 131072)
    floor (55929.5)     		ty = 55929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60501 / 55929 ti = "17/60501/55929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60501/55929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60501 ÷ 217
    60501 ÷ 131072     		x = 0.461585998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55929 ÷ 217
    55929 ÷ 131072     		y = 0.426704406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461585998535156 × 2 - 1) × π
    -0.0768280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24136229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426704406738281 × 2 - 1) × π
    0.146591186523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.460529794649879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24136229} λ = -0.24136229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460529794649879))-π/2
    2×atan(1.58491344126683)-π/2
    2×1.00793030950095-π/2
    2.01586061900189-1.57079632675     		φ = 0.44506429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24136229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.829041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44506429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.500305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60501 KachelY 55929 -0.24136229 0.44506429 -13.829041 25.500305
    Oben rechts KachelX + 1 60502 KachelY 55929 -0.24131435 0.44506429 -13.826294 25.500305
    Unten links KachelX 60501 KachelY + 1 55930 -0.24136229 0.44502102 -13.829041 25.497826
    Unten rechts KachelX + 1 60502 KachelY + 1 55930 -0.24131435 0.44502102 -13.826294 25.497826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44506429-0.44502102) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44506429-0.44502102) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24136229--0.24131435) × cos(0.44506429) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90258298939369 × 6371000     		do = 275.672077446959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24136229--0.24131435) × cos(0.44502102) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902601616972084 × 6371000     		du = 275.677766788874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44506429)-sin(0.44502102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90258298939369-0.902601616972084)×R²
    abs(-0.24131435--0.24136229)×1.86275783943257e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86275783943257e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86275783943257e-05×40589641000000     		ar = 75996.1796815667m²