Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60500 / 84146
↖ ↑ ↗
← S 45.433154°
W 13.831787°		 ← 214.33 m → S 45.433154°
W 13.829041°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 45.435081°
W 13.831787°		 ← 214.32 m →
45 934 m²		 S 45.435081°
W 13.829041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461582183837891 y=0.641986846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461582183837891 × 217)
    floor (0.461582183837891 × 131072)
    floor (60500.5)     		tx = 60500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641986846923828 × 217)
    floor (0.641986846923828 × 131072)
    floor (84146.5)     		ty = 84146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60500 / 84146 ti = "17/60500/84146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60500/84146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60500 ÷ 217
    60500 ÷ 131072     		x = 0.461578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84146 ÷ 217
    84146 ÷ 131072     		y = 0.641983032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641983032226562 × 2 - 1) × π
    -0.283966064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.892105701929245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24141023} λ = -0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892105701929245))-π/2
    2×atan(0.409791943922655)-π/2
    2×0.38891910309535-π/2
    0.7778382061907-1.57079632675     		φ = -0.79295812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79295812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.433154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60500 KachelY 84146 -0.24141023 -0.79295812 -13.831787 -45.433154
    Oben rechts KachelX + 1 60501 KachelY 84146 -0.24136229 -0.79295812 -13.829041 -45.433154
    Unten links KachelX 60500 KachelY + 1 84147 -0.24141023 -0.79299176 -13.831787 -45.435081
    Unten rechts KachelX + 1 60501 KachelY + 1 84147 -0.24136229 -0.79299176 -13.829041 -45.435081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79295812--0.79299176) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79295812--0.79299176) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24141023--0.24136229) × cos(-0.79295812) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701740929006809 × 6371000     		do = 214.329742530176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24141023--0.24136229) × cos(-0.79299176) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701716962389859 × 6371000     		du = 214.322422508458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79295812)-sin(-0.79299176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701740929006809-0.701716962389859)×R²
    abs(-0.24136229--0.24141023)×2.39666169495889e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39666169495889e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39666169495889e-05×40589641000000     		ar = 45934.4603134661m²