Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60499 / 85525
↖ ↑ ↗
← S 48.028509°
W 13.834533°		 ← 204.21 m → S 48.028509°
W 13.831787°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
S 48.030346°
W 13.834533°		 ← 204.21 m →
41 711 m²		 S 48.030346°
W 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461574554443359 y=0.652507781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461574554443359 × 217)
    floor (0.461574554443359 × 131072)
    floor (60499.5)     		tx = 60499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652507781982422 × 217)
    floor (0.652507781982422 × 131072)
    floor (85525.5)     		ty = 85525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60499 / 85525 ti = "17/60499/85525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60499/85525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60499 ÷ 217
    60499 ÷ 131072     		x = 0.461570739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85525 ÷ 217
    85525 ÷ 131072     		y = 0.652503967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461570739746094 × 2 - 1) × π
    -0.0768585205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24145816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652503967285156 × 2 - 1) × π
    -0.305007934570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.958210686505303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24145816} λ = -0.24145816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958210686505303))-π/2
    2×atan(0.383578614691879)-π/2
    2×0.366270354669257-π/2
    0.732540709338514-1.57079632675     		φ = -0.83825562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24145816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.834533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83825562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.028509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60499 KachelY 85525 -0.24145816 -0.83825562 -13.834533 -48.028509
    Oben rechts KachelX + 1 60500 KachelY 85525 -0.24141023 -0.83825562 -13.831787 -48.028509
    Unten links KachelX 60499 KachelY + 1 85526 -0.24145816 -0.83828768 -13.834533 -48.030346
    Unten rechts KachelX + 1 60500 KachelY + 1 85526 -0.24141023 -0.83828768 -13.831787 -48.030346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83825562--0.83828768) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dl = 204.254260000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83825562--0.83828768) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dr = 204.254260000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24145816--0.24141023) × cos(-0.83825562) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.668760750249935 × 6371000     		do = 204.21414028065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24145816--0.24141023) × cos(-0.83828768) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.668736914011865 × 6371000     		du = 204.206861598605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83825562)-sin(-0.83828768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668760750249935-0.668736914011865)×R²
    abs(-0.24141023--0.24145816)×2.38362380700075e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38362380700075e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38362380700075e-05×40589641000000     		ar = 41710.864757314m²