Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60499 / 84147
↖ ↑ ↗
← S 45.435081°
W 13.834533°		 ← 214.28 m → S 45.435081°
W 13.831787°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 45.437008°
W 13.834533°		 ← 214.27 m →
45 923 m²		 S 45.437008°
W 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461574554443359 y=0.641994476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461574554443359 × 217)
    floor (0.461574554443359 × 131072)
    floor (60499.5)     		tx = 60499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641994476318359 × 217)
    floor (0.641994476318359 × 131072)
    floor (84147.5)     		ty = 84147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60499 / 84147 ti = "17/60499/84147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60499/84147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60499 ÷ 217
    60499 ÷ 131072     		x = 0.461570739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84147 ÷ 217
    84147 ÷ 131072     		y = 0.641990661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461570739746094 × 2 - 1) × π
    -0.0768585205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24145816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641990661621094 × 2 - 1) × π
    -0.283981323242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.892153638828865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24145816} λ = -0.24145816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892153638828865))-π/2
    2×atan(0.409772300238206)-π/2
    2×0.388902283740334-π/2
    0.777804567480668-1.57079632675     		φ = -0.79299176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24145816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.834533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79299176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.435081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60499 KachelY 84147 -0.24145816 -0.79299176 -13.834533 -45.435081
    Oben rechts KachelX + 1 60500 KachelY 84147 -0.24141023 -0.79299176 -13.831787 -45.435081
    Unten links KachelX 60499 KachelY + 1 84148 -0.24145816 -0.79302540 -13.834533 -45.437008
    Unten rechts KachelX + 1 60500 KachelY + 1 84148 -0.24141023 -0.79302540 -13.831787 -45.437008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79299176--0.79302540) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dl = 214.320439999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79299176--0.79302540) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dr = 214.320439999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24145816--0.24141023) × cos(-0.79299176) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701716962389859 × 6371000     		do = 214.277716120808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24145816--0.24141023) × cos(-0.79302540) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701692994978812 × 6371000     		du = 214.270397383517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79299176)-sin(-0.79302540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701716962389859-0.701692994978812)×R²
    abs(-0.24141023--0.24145816)×2.39674110473764e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39674110473764e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39674110473764e-05×40589641000000     		ar = 45923.3101278462m²