Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60499 / 56510
↖ ↑ ↗
← N 24.051480°
W 13.834533°		 ← 278.85 m → N 24.051480°
W 13.831787°		 →
↑
278.86 m
↓
↑
278.86 m
↓
N 24.048972°
W 13.834533°		 ← 278.86 m →
77 761 m²		 N 24.048972°
W 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461574554443359 y=0.431140899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461574554443359 × 217)
    floor (0.461574554443359 × 131072)
    floor (60499.5)     		tx = 60499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431140899658203 × 217)
    floor (0.431140899658203 × 131072)
    floor (56510.5)     		ty = 56510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60499 / 56510 ti = "17/60499/56510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60499/56510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60499 ÷ 217
    60499 ÷ 131072     		x = 0.461570739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56510 ÷ 217
    56510 ÷ 131072     		y = 0.431137084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461570739746094 × 2 - 1) × π
    -0.0768585205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24145816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431137084960938 × 2 - 1) × π
    0.137725830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.432678455970627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24145816} λ = -0.24145816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432678455970627))-π/2
    2×atan(1.54138051930702)-π/2
    2×0.995286924375745-π/2
    1.99057384875149-1.57079632675     		φ = 0.41977752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24145816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.834533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41977752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.051480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60499 KachelY 56510 -0.24145816 0.41977752 -13.834533 24.051480
    Oben rechts KachelX + 1 60500 KachelY 56510 -0.24141023 0.41977752 -13.831787 24.051480
    Unten links KachelX 60499 KachelY + 1 56511 -0.24145816 0.41973375 -13.834533 24.048972
    Unten rechts KachelX + 1 60500 KachelY + 1 56511 -0.24141023 0.41973375 -13.831787 24.048972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41977752-0.41973375) × R
    4.37699999999985e-05 × 6371000     		dl = 278.858669999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41977752-0.41973375) × R
    4.37699999999985e-05 × 6371000     		dr = 278.858669999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24145816--0.24141023) × cos(0.41977752) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.913179636259415 × 6371000     		do = 278.850387482846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24145816--0.24141023) × cos(0.41973375) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.913197474167643 × 6371000     		du = 278.855834502713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41977752)-sin(0.41973375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913179636259415-0.913197474167643)×R²
    abs(-0.24141023--0.24145816)×1.78379082284019e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.78379082284019e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.78379082284019e-05×40589641000000     		ar = 77760.6076692043m²