Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60498 / 56401
↖ ↑ ↗
← N 24.324574°
W 13.837280°		 ← 278.31 m → N 24.324574°
W 13.834533°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
N 24.322071°
W 13.837280°		 ← 278.32 m →
77 451 m²		 N 24.322071°
W 13.834533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461566925048828 y=0.430309295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461566925048828 × 217)
    floor (0.461566925048828 × 131072)
    floor (60498.5)     		tx = 60498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430309295654297 × 217)
    floor (0.430309295654297 × 131072)
    floor (56401.5)     		ty = 56401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60498 / 56401 ti = "17/60498/56401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60498/56401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60498 ÷ 217
    60498 ÷ 131072     		x = 0.461563110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56401 ÷ 217
    56401 ÷ 131072     		y = 0.430305480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461563110351562 × 2 - 1) × π
    -0.076873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24150610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430305480957031 × 2 - 1) × π
    0.139389038085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.437903578029213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24150610} λ = -0.24150610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437903578029213))-π/2
    2×atan(1.54945549866365)-π/2
    2×0.997670114420027-π/2
    1.99534022884005-1.57079632675     		φ = 0.42454390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24150610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.837280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42454390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.324574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60498 KachelY 56401 -0.24150610 0.42454390 -13.837280 24.324574
    Oben rechts KachelX + 1 60499 KachelY 56401 -0.24145816 0.42454390 -13.834533 24.324574
    Unten links KachelX 60498 KachelY + 1 56402 -0.24150610 0.42450022 -13.837280 24.322071
    Unten rechts KachelX + 1 60499 KachelY + 1 56402 -0.24145816 0.42450022 -13.834533 24.322071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42454390-0.42450022) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dl = 278.285279999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42454390-0.42450022) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dr = 278.285279999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24150610--0.24145816) × cos(0.42454390) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.911226697695645 × 6371000     		do = 278.312088451427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24150610--0.24145816) × cos(0.42450022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.911244688846108 × 6371000     		du = 278.317583411871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42454390)-sin(0.42450022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911226697695645-0.911244688846108)×R²
    abs(-0.24145816--0.24150610)×1.79911504623043e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.79911504623043e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.79911504623043e-05×40589641000000     		ar = 77450.922057629m²