Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60497 / 83539
↖ ↑ ↗
← S 44.251102°
W 13.840027°		 ← 218.77 m → S 44.251102°
W 13.837280°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
S 44.253069°
W 13.840027°		 ← 218.77 m →
47 848 m²		 S 44.253069°
W 13.837280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461559295654297 y=0.637355804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461559295654297 × 217)
    floor (0.461559295654297 × 131072)
    floor (60497.5)     		tx = 60497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637355804443359 × 217)
    floor (0.637355804443359 × 131072)
    floor (83539.5)     		ty = 83539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60497 / 83539 ti = "17/60497/83539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60497/83539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60497 ÷ 217
    60497 ÷ 131072     		x = 0.461555480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83539 ÷ 217
    83539 ÷ 131072     		y = 0.637351989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461555480957031 × 2 - 1) × π
    -0.0768890380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24155404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637351989746094 × 2 - 1) × π
    -0.274703979492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.863008003859871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24155404} λ = -0.24155404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863008003859871))-π/2
    2×atan(0.421891121626432)-π/2
    2×0.399234455337035-π/2
    0.79846891067407-1.57079632675     		φ = -0.77232742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24155404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.840027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77232742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.251102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60497 KachelY 83539 -0.24155404 -0.77232742 -13.840027 -44.251102
    Oben rechts KachelX + 1 60498 KachelY 83539 -0.24150610 -0.77232742 -13.837280 -44.251102
    Unten links KachelX 60497 KachelY + 1 83540 -0.24155404 -0.77236175 -13.840027 -44.253069
    Unten rechts KachelX + 1 60498 KachelY + 1 83540 -0.24150610 -0.77236175 -13.837280 -44.253069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77232742--0.77236175) × R
    3.43299999999713e-05 × 6371000     		dl = 218.716429999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77232742--0.77236175) × R
    3.43299999999713e-05 × 6371000     		dr = 218.716429999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24155404--0.24150610) × cos(-0.77232742) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716288527578115 × 6371000     		do = 218.772953589039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24155404--0.24150610) × cos(-0.77236175) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716264571536767 × 6371000     		du = 218.765636797383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77232742)-sin(-0.77236175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716288527578115-0.716264571536767)×R²
    abs(-0.24150610--0.24155404)×2.39560413473061e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39560413473061e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39560413473061e-05×40589641000000     		ar = 47848.4392429362m²