Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60496 / 56506
↖ ↑ ↗
← N 24.061513°
W 13.842773°		 ← 278.83 m → N 24.061513°
W 13.840027°		 →
↑
278.92 m
↓
↑
278.92 m
↓
N 24.059004°
W 13.842773°		 ← 278.83 m →
77 772 m²		 N 24.059004°
W 13.840027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461551666259766 y=0.431110382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461551666259766 × 217)
    floor (0.461551666259766 × 131072)
    floor (60496.5)     		tx = 60496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431110382080078 × 217)
    floor (0.431110382080078 × 131072)
    floor (56506.5)     		ty = 56506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60496 / 56506 ti = "17/60496/56506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60496/56506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60496 ÷ 217
    60496 ÷ 131072     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56506 ÷ 217
    56506 ÷ 131072     		y = 0.431106567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431106567382812 × 2 - 1) × π
    0.137786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.432870203569107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432870203569107))-π/2
    2×atan(1.54167610365783)-π/2
    2×0.995374470955493-π/2
    1.99074894191099-1.57079632675     		φ = 0.41995262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41995262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.061513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60496 KachelY 56506 -0.24160197 0.41995262 -13.842773 24.061513
    Oben rechts KachelX + 1 60497 KachelY 56506 -0.24155404 0.41995262 -13.840027 24.061513
    Unten links KachelX 60496 KachelY + 1 56507 -0.24160197 0.41990884 -13.842773 24.059004
    Unten rechts KachelX + 1 60497 KachelY + 1 56507 -0.24155404 0.41990884 -13.840027 24.059004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41995262-0.41990884) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dl = 278.922379999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41995262-0.41990884) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dr = 278.922379999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24155404) × cos(0.41995262) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.913108258977687 × 6371000     		do = 278.828591571201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24155404) × cos(0.41990884) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.913126107961207 × 6371000     		du = 278.834041973042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41995262)-sin(0.41990884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913108258977687-0.913126107961207)×R²
    abs(-0.24155404--0.24160197)×1.78489835200857e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.78489835200857e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.78489835200857e-05×40589641000000     		ar = 77772.2945050205m²