Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60496 / 41016
↖ ↑ ↗
← N 55.689972°
W 13.842773°		 ← 172.12 m → N 55.689972°
W 13.840027°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
N 55.688424°
W 13.842773°		 ← 172.13 m →
29 631 m²		 N 55.688424°
W 13.840027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461551666259766 y=0.312931060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461551666259766 × 217)
    floor (0.461551666259766 × 131072)
    floor (60496.5)     		tx = 60496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312931060791016 × 217)
    floor (0.312931060791016 × 131072)
    floor (41016.5)     		ty = 41016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60496 / 41016 ti = "17/60496/41016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60496/41016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60496 ÷ 217
    60496 ÷ 131072     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41016 ÷ 217
    41016 ÷ 131072     		y = 0.31292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31292724609375 × 2 - 1) × π
    0.3741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17541277868378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17541277868378))-π/2
    2×atan(3.23947985612566)-π/2
    2×1.27138484676225-π/2
    2.54276969352451-1.57079632675     		φ = 0.97197337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97197337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.689972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60496 KachelY 41016 -0.24160197 0.97197337 -13.842773 55.689972
    Oben rechts KachelX + 1 60497 KachelY 41016 -0.24155404 0.97197337 -13.840027 55.689972
    Unten links KachelX 60496 KachelY + 1 41017 -0.24160197 0.97194635 -13.842773 55.688424
    Unten rechts KachelX + 1 60497 KachelY + 1 41017 -0.24155404 0.97194635 -13.840027 55.688424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97197337-0.97194635) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dl = 172.144419999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97197337-0.97194635) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dr = 172.144419999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24155404) × cos(0.97197337) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563670626805425 × 6371000     		do = 172.123606852683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24155404) × cos(0.97194635) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563692945110246 × 6371000     		du = 172.130422015549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97197337)-sin(0.97194635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563670626805425-0.563692945110246)×R²
    abs(-0.24155404--0.24160197)×2.2318304821578e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2318304821578e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2318304821578e-05×40589641000000     		ar = 29630.7050678656m²