Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60496 / 41014
↖ ↑ ↗
← N 55.693068°
W 13.842773°		 ← 172.11 m → N 55.693068°
W 13.840027°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
N 55.691520°
W 13.842773°		 ← 172.12 m →
29 628 m²		 N 55.691520°
W 13.840027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461551666259766 y=0.312915802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461551666259766 × 217)
    floor (0.461551666259766 × 131072)
    floor (60496.5)     		tx = 60496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312915802001953 × 217)
    floor (0.312915802001953 × 131072)
    floor (41014.5)     		ty = 41014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60496 / 41014 ti = "17/60496/41014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60496/41014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60496 ÷ 217
    60496 ÷ 131072     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41014 ÷ 217
    41014 ÷ 131072     		y = 0.312911987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312911987304688 × 2 - 1) × π
    0.374176025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17550865248302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17550865248302))-π/2
    2×atan(3.23979045225581)-π/2
    2×1.27141186631475-π/2
    2.5428237326295-1.57079632675     		φ = 0.97202741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97202741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.693068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60496 KachelY 41014 -0.24160197 0.97202741 -13.842773 55.693068
    Oben rechts KachelX + 1 60497 KachelY 41014 -0.24155404 0.97202741 -13.840027 55.693068
    Unten links KachelX 60496 KachelY + 1 41015 -0.24160197 0.97200039 -13.842773 55.691520
    Unten rechts KachelX + 1 60497 KachelY + 1 41015 -0.24155404 0.97200039 -13.840027 55.691520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97202741-0.97200039) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dl = 172.144419999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97202741-0.97200039) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dr = 172.144419999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24155404) × cos(0.97202741) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563625988961223 × 6371000     		do = 172.109976149962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24155404) × cos(0.97200039) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563648308089078 × 6371000     		du = 172.116791564152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97202741)-sin(0.97200039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563625988961223-0.563648308089078)×R²
    abs(-0.24155404--0.24160197)×2.23191278549972e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23191278549972e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23191278549972e-05×40589641000000     		ar = 29628.3586400676m²