Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60495 / 84110
↖ ↑ ↗
← S 45.363725°
W 13.845520°		 ← 214.59 m → S 45.363725°
W 13.842773°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 45.365655°
W 13.845520°		 ← 214.59 m →
46 046 m²		 S 45.365655°
W 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461544036865234 y=0.641712188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461544036865234 × 217)
    floor (0.461544036865234 × 131072)
    floor (60495.5)     		tx = 60495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641712188720703 × 217)
    floor (0.641712188720703 × 131072)
    floor (84110.5)     		ty = 84110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60495 / 84110 ti = "17/60495/84110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60495/84110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60495 ÷ 217
    60495 ÷ 131072     		x = 0.461540222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84110 ÷ 217
    84110 ÷ 131072     		y = 0.641708374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461540222167969 × 2 - 1) × π
    -0.0769195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24164991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641708374023438 × 2 - 1) × π
    -0.283416748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.890379973542923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24164991} λ = -0.24164991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890379973542923))-π/2
    2×atan(0.410499744072513)-π/2
    2×0.389524982444614-π/2
    0.779049964889228-1.57079632675     		φ = -0.79174636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24164991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.845520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79174636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.363725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60495 KachelY 84110 -0.24164991 -0.79174636 -13.845520 -45.363725
    Oben rechts KachelX + 1 60496 KachelY 84110 -0.24160197 -0.79174636 -13.842773 -45.363725
    Unten links KachelX 60495 KachelY + 1 84111 -0.24164991 -0.79178004 -13.845520 -45.365655
    Unten rechts KachelX + 1 60496 KachelY + 1 84111 -0.24160197 -0.79178004 -13.842773 -45.365655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79174636--0.79178004) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79174636--0.79178004) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24164991--0.24160197) × cos(-0.79174636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702603710457939 × 6371000     		do = 214.593258193345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24164991--0.24160197) × cos(-0.79178004) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702579743999381 × 6371000     		du = 214.585938220005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79174636)-sin(-0.79178004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702603710457939-0.702579743999381)×R²
    abs(-0.24160197--0.24164991)×2.39664585585109e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39664585585109e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39664585585109e-05×40589641000000     		ar = 46045.6231248738m²