Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60495 / 82591
↖ ↑ ↗
← S 42.356514°
W 13.845520°		 ← 225.70 m → S 42.356514°
W 13.842773°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 42.358544°
W 13.845520°		 ← 225.69 m →
50 945 m²		 S 42.358544°
W 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461544036865234 y=0.630123138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461544036865234 × 217)
    floor (0.461544036865234 × 131072)
    floor (60495.5)     		tx = 60495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630123138427734 × 217)
    floor (0.630123138427734 × 131072)
    floor (82591.5)     		ty = 82591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60495 / 82591 ti = "17/60495/82591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60495/82591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60495 ÷ 217
    60495 ÷ 131072     		x = 0.461540222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82591 ÷ 217
    82591 ÷ 131072     		y = 0.630119323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461540222167969 × 2 - 1) × π
    -0.0769195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24164991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630119323730469 × 2 - 1) × π
    -0.260238647460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.817563823020058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24164991} λ = -0.24164991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817563823020058))-π/2
    2×atan(0.441505931997676)-π/2
    2×0.415767846155694-π/2
    0.831535692311387-1.57079632675     		φ = -0.73926063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24164991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.845520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73926063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.356514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60495 KachelY 82591 -0.24164991 -0.73926063 -13.845520 -42.356514
    Oben rechts KachelX + 1 60496 KachelY 82591 -0.24160197 -0.73926063 -13.842773 -42.356514
    Unten links KachelX 60495 KachelY + 1 82592 -0.24164991 -0.73929606 -13.845520 -42.358544
    Unten rechts KachelX + 1 60496 KachelY + 1 82592 -0.24160197 -0.73929606 -13.842773 -42.358544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73926063--0.73929606) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73926063--0.73929606) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24164991--0.24160197) × cos(-0.73926063) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73896690508883 × 6371000     		do = 225.699513822248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24164991--0.24160197) × cos(-0.73929606) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.738943033955681 × 6371000     		du = 225.692222963742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73926063)-sin(-0.73929606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73896690508883-0.738943033955681)×R²
    abs(-0.24160197--0.24164991)×2.38711331497221e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38711331497221e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38711331497221e-05×40589641000000     		ar = 50945.093821198m²