Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60495 / 41015
↖ ↑ ↗
← N 55.691520°
W 13.845520°		 ← 172.15 m → N 55.691520°
W 13.842773°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
N 55.689972°
W 13.845520°		 ← 172.16 m →
29 636 m²		 N 55.689972°
W 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461544036865234 y=0.312923431396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461544036865234 × 217)
    floor (0.461544036865234 × 131072)
    floor (60495.5)     		tx = 60495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312923431396484 × 217)
    floor (0.312923431396484 × 131072)
    floor (41015.5)     		ty = 41015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60495 / 41015 ti = "17/60495/41015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60495/41015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60495 ÷ 217
    60495 ÷ 131072     		x = 0.461540222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41015 ÷ 217
    41015 ÷ 131072     		y = 0.312919616699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461540222167969 × 2 - 1) × π
    -0.0769195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24164991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312919616699219 × 2 - 1) × π
    0.374160766601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.1754607155834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24164991} λ = -0.24164991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1754607155834))-π/2
    2×atan(3.23963515046848)-π/2
    2×1.27139835680597-π/2
    2.54279671361195-1.57079632675     		φ = 0.97200039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24164991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.845520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97200039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.691520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60495 KachelY 41015 -0.24164991 0.97200039 -13.845520 55.691520
    Oben rechts KachelX + 1 60496 KachelY 41015 -0.24160197 0.97200039 -13.842773 55.691520
    Unten links KachelX 60495 KachelY + 1 41016 -0.24164991 0.97197337 -13.845520 55.689972
    Unten rechts KachelX + 1 60496 KachelY + 1 41016 -0.24160197 0.97197337 -13.842773 55.689972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97200039-0.97197337) × R
    2.70200000000997e-05 × 6371000     		dl = 172.144420000635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97200039-0.97197337) × R
    2.70200000000997e-05 × 6371000     		dr = 172.144420000635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24164991--0.24160197) × cos(0.97200039) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563648308089078 × 6371000     		do = 172.152701597841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24164991--0.24160197) × cos(0.97197337) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563670626805425 × 6371000     		du = 172.159518308298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97200039)-sin(0.97197337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563648308089078-0.563670626805425)×R²
    abs(-0.24160197--0.24164991)×2.23187163466143e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23187163466143e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23187163466143e-05×40589641000000     		ar = 29635.7136992924m²