Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60495 / 34416
↖ ↑ ↗
← N 64.642704°
W 13.845520°		 ← 130.80 m → N 64.642704°
W 13.842773°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
N 64.641528°
W 13.845520°		 ← 130.81 m →
17 109 m²		 N 64.641528°
W 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461544036865234 y=0.262577056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461544036865234 × 217)
    floor (0.461544036865234 × 131072)
    floor (60495.5)     		tx = 60495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262577056884766 × 217)
    floor (0.262577056884766 × 131072)
    floor (34416.5)     		ty = 34416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60495 / 34416 ti = "17/60495/34416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60495/34416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60495 ÷ 217
    60495 ÷ 131072     		x = 0.461540222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34416 ÷ 217
    34416 ÷ 131072     		y = 0.2625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461540222167969 × 2 - 1) × π
    -0.0769195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24164991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2625732421875 × 2 - 1) × π
    0.474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49179631617615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24164991} λ = -0.24164991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49179631617615))-π/2
    2×atan(4.44507310845091)-π/2
    2×1.34951217292399-π/2
    2.69902434584799-1.57079632675     		φ = 1.12822802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24164991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.845520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12822802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.642704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60495 KachelY 34416 -0.24164991 1.12822802 -13.845520 64.642704
    Oben rechts KachelX + 1 60496 KachelY 34416 -0.24160197 1.12822802 -13.842773 64.642704
    Unten links KachelX 60495 KachelY + 1 34417 -0.24164991 1.12820749 -13.845520 64.641528
    Unten rechts KachelX + 1 60496 KachelY + 1 34417 -0.24160197 1.12820749 -13.842773 64.641528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12822802-1.12820749) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12822802-1.12820749) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24164991--0.24160197) × cos(1.12822802) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428261737565633 × 6371000     		do = 130.802158109659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24164991--0.24160197) × cos(1.12820749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428280289507135 × 6371000     		du = 130.807824350121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12822802)-sin(1.12820749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428261737565633-0.428280289507135)×R²
    abs(-0.24160197--0.24164991)×1.85519415021873e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85519415021873e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85519415021873e-05×40589641000000     		ar = 17108.8520407758m²