Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60494 / 83542
↖ ↑ ↗
← S 44.257003°
W 13.848267°		 ← 218.75 m → S 44.257003°
W 13.845520°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
S 44.258970°
W 13.848267°		 ← 218.74 m →
47 844 m²		 S 44.258970°
W 13.845520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461536407470703 y=0.637378692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461536407470703 × 217)
    floor (0.461536407470703 × 131072)
    floor (60494.5)     		tx = 60494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637378692626953 × 217)
    floor (0.637378692626953 × 131072)
    floor (83542.5)     		ty = 83542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60494 / 83542 ti = "17/60494/83542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60494/83542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60494 ÷ 217
    60494 ÷ 131072     		x = 0.461532592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83542 ÷ 217
    83542 ÷ 131072     		y = 0.637374877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461532592773438 × 2 - 1) × π
    -0.076934814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24169785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637374877929688 × 2 - 1) × π
    -0.274749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.863151814558731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24169785} λ = -0.24169785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863151814558731))-π/2
    2×atan(0.421830453531853)-π/2
    2×0.399182952944283-π/2
    0.798365905888567-1.57079632675     		φ = -0.77243042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24169785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.848267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77243042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.257003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60494 KachelY 83542 -0.24169785 -0.77243042 -13.848267 -44.257003
    Oben rechts KachelX + 1 60495 KachelY 83542 -0.24164991 -0.77243042 -13.845520 -44.257003
    Unten links KachelX 60494 KachelY + 1 83543 -0.24169785 -0.77246475 -13.848267 -44.258970
    Unten rechts KachelX + 1 60495 KachelY + 1 83543 -0.24164991 -0.77246475 -13.845520 -44.258970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77243042--0.77246475) × R
    3.43300000000824e-05 × 6371000     		dl = 218.716430000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77243042--0.77246475) × R
    3.43300000000824e-05 × 6371000     		dr = 218.716430000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24169785--0.24164991) × cos(-0.77243042) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716216649942862 × 6371000     		do = 218.751000309103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24169785--0.24164991) × cos(-0.77246475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716192691368896 × 6371000     		du = 218.74368274392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77243042)-sin(-0.77246475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716216649942862-0.716192691368896)×R²
    abs(-0.24164991--0.24169785)×2.39585739669756e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39585739669756e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39585739669756e-05×40589641000000     		ar = 47843.6376155713m²