Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60494 / 41013
↖ ↑ ↗
← N 55.694616°
W 13.848267°		 ← 172.14 m → N 55.694616°
W 13.845520°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
N 55.693068°
W 13.848267°		 ← 172.15 m →
29 622 m²		 N 55.693068°
W 13.845520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461536407470703 y=0.312908172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461536407470703 × 217)
    floor (0.461536407470703 × 131072)
    floor (60494.5)     		tx = 60494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312908172607422 × 217)
    floor (0.312908172607422 × 131072)
    floor (41013.5)     		ty = 41013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60494 / 41013 ti = "17/60494/41013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60494/41013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60494 ÷ 217
    60494 ÷ 131072     		x = 0.461532592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41013 ÷ 217
    41013 ÷ 131072     		y = 0.312904357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461532592773438 × 2 - 1) × π
    -0.076934814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24169785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312904357910156 × 2 - 1) × π
    0.374191284179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.17555658938264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24169785} λ = -0.24169785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17555658938264))-π/2
    2×atan(3.239945761488)-π/2
    2×1.2714253752886-π/2
    2.5428507505772-1.57079632675     		φ = 0.97205442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24169785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.848267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97205442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.694616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60494 KachelY 41013 -0.24169785 0.97205442 -13.848267 55.694616
    Oben rechts KachelX + 1 60495 KachelY 41013 -0.24164991 0.97205442 -13.845520 55.694616
    Unten links KachelX 60494 KachelY + 1 41014 -0.24169785 0.97202741 -13.848267 55.693068
    Unten rechts KachelX + 1 60495 KachelY + 1 41014 -0.24164991 0.97202741 -13.845520 55.693068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97205442-0.97202741) × R
    2.70099999999385e-05 × 6371000     		dl = 172.080709999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97205442-0.97202741) × R
    2.70099999999385e-05 × 6371000     		dr = 172.080709999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24169785--0.24164991) × cos(0.97205442) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563603677682329 × 6371000     		do = 172.139070322834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24169785--0.24164991) × cos(0.97202741) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563625988961223 × 6371000     		du = 172.1458847617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97205442)-sin(0.97202741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563603677682329-0.563625988961223)×R²
    abs(-0.24164991--0.24169785)×2.23112788939606e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23112788939606e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23112788939606e-05×40589641000000     		ar = 29622.3997584034m²